初中數學教學中積極培養學生逆向思維能力的研究

謝翠蘭

[摘? 要] 逆向思維能力可以通過幫助學生高效學習的同時擴寬學生解題思路，進而達到強化學生數學能力的目的，教學中，教師要幫助學生樹立和鍛煉逆向思維意識，并給出逆向思維的應用方法，不斷提高學生的解題能力，培養學生的數學素養.

[關鍵詞] 初中數學;逆向思維;解題能力

逆向思維是數學思維的一種方法. 在數學教學中，運用逆向思維可以很好地提升學生的解題能力. 初中數學教學中如何通過教學工作培養學生逆向思維能力，并利用逆向思維能力增強學生數學能力？本文筆者以如何樹立逆向思維意識作為切入點，簡單論述了如何鍛煉學生的逆向思維意識.

■ 逆向思維意識的樹立

在初中階段的數學教學中，筆者認為教師在進行較為抽象的知識點教學時可以給學生一定的課堂時間，引導學生根據教材內容進行推導和思考，讓學生通過實踐和思考強化知識內容的掌握. 教師可幫助學生利用正向思考強化基礎知識學習效果，通常學生通過自學可以掌握基本的公式概念，此時教師指導學生利用逆向思維進行學習，不僅可以促使學生對知識內容有更深刻的理解，還能幫助學生鍛煉逆向思維能力.

例如，在進行初中數學人教版八年級上冊與三角形有關的角的教學工作時，筆者會教授學生基本理論（三角形內角和為180°），在確定學生理解知識內容后，給出一些簡單的內角相關的計算問題，引導學生通過練習實踐鞏固知識內容，引導學生借助正向思維解題. 確認學生掌握基礎知識內容后，向學生拋出問題，現有一個三角形，其中一角為90°，此三角形其他兩角為多少度？這個問題答案非常簡單，提出問題的目的在于引導學生借助逆向思維思考問題，為其樹立逆向思維意識.

依然以三角形有關的角的教學工作為例，筆者首先幫助學生理解如果一個三角形是直角三角形，那么這個三角形有兩個角互余. 在確認學生理解這一性質后，提出思考問題：如果一個三角形有兩個角互余，其是否為直角三角形？學生在引導下，經過簡單的驗算發現有兩個角互余的三角形是直角三角形.

筆者認為通過樹立學生逆向思維意識，不僅可以強化學生的知識應用能力，還可以幫助學生在往后的學習生活中應用逆向思維去理解、分析數學中的抽象知識.

■ 逆向思維意識的鍛煉

在初中階段的數學教學中，大部分知識內容都可以進行逆向推導和分析. 筆者認為，教師如果能在公式和定理的教學過程中合理穿插逆向思維訓練，那么不僅可以有效提高學生的逆向思維能力，還能幫助學生培養多角度思考的解題習慣.

例如，在完成初中數學人教版八年級上冊因式分解教學工作后，筆者為學生準備了一道計算題：（a-b-c）（a+b+c）-（a-b+c）（a+b-c）. 若學生不利用逆向思維，按照常規方式展開算式完成計算不僅耗時過多，同時因為計算過程煩瑣非常容易出錯，故筆者在課堂上引導學生逆用平方差公式來簡化計算過程. 逆向思維的應用和鍛煉不僅可以有效提高學生的解題能力，同時還可以幫助學生更加深刻地理解公式內容.

同樣，在幾何相關的教學工作中，筆者通常用調換已知條件和求證問題的方法讓學生通過學習和解題鍛煉逆向思維. 例題如下：已知三角形ABC，AB邊上存在點H，AC邊上有點I，且邊AB和AC的長度相等，∠ABI和∠ACH相等，試證明邊AI和邊AH的長度相等.

這個問題本身并不復雜，筆者待學生完成證明后，在不增加條件的情況下調整已知條件和求證問題以促進學生深度思考. 具體來講，例題可以有如下兩種變化.

第一種：已知三角形ABC，邊AB上存在點H，邊AC上存在點I，且邊AB和邊AC長度等，邊AI和邊AH長度相等，試證明∠ABI和∠ACH相等;

第二種：已知三角形ABC，邊AB上存在點H，邊AC上存在點I，且AI和AH長度相等，∠ABI和∠ACH相等，試證明AB和AC的長度一樣.

通過這兩種變式設計，巧妙地調整題干已知信息和求證內容，可以幫助學生在問題解決的過程中，多角度理解知識內容，同時也達到了鍛煉學生逆向思維的目的.

■ 利用逆向思維來解題

在初中階段的數學教學中，筆者認為引導學生借助逆向思維來解題，可以幫助學生抓住問題本質甚至化繁為簡. 根據筆者經驗，學生利用逆向思維可以對問題進行多角度思考，提升學生解題能力的同時拓寬學生解題思路. 筆者在教學工作中，一般通過引導學生利用逆向思維中的反證法來分析并解答問題.

例題如下：已知拋物線y=-x2+（a-3）x+a-4的頂點在第四象限以外，求a為何值. 學生通常認為頂點存在于坐標軸或第一、二、三象限中，并對這幾種可能性分別進行推導和分析，最終取得問題答案，過程較為煩瑣且耗時較長. 筆者引導學生借助逆向思維思考此問題，轉換題干給出的頂點是在第四象限以外這一解題條件，假定題目中拋物線頂點存在于第四象限，計算頂點存于第四象限時a的所有集合，并排除所有不符合數理依據的答案，進而獲得最終答案. 利用逆向思維解題不僅可以有效簡化答題過程，還可以擴寬學生解題思路.

又例如，已知方程x2-ax+4=0，x2+（a-1）x+16=0，x2+2ax+3a+10=0，且方程中實根的個數大于等于一個，求a的取值范圍. 很明顯，若不把握逆向思維解題思路，此題計算過程將極為復雜且難度明顯過高. 故筆者引導學生利用逆向思維求解，假定方程不存在實數根，計算方程沒有實數根時a的范圍，其補集就是答案.

筆者認為教師在指導學生解題的教學過程中引導學生利用逆向思維解題，不僅可以大幅度縮短學生解題時間，還可以幫助學生提高解題能力.

■ 利用逆向思維來學習

在初中階段的數學教學中，筆者認為教師需要借助逆向思維輔助學生公式、定理、概念的學習. 學生通過預習和自學對數學知識內容的理解只停留在“可以復述公式內容”的程度，而不能掌握其本質內容并將其靈活運用. 筆者在教學時一般從概念和定理兩方面著手，利用逆向思維強化學生學習效果.

例如，在進行初中數學人教版九年級下冊“相似”的教學工作時，事先引導學生了解“已知兩個三角形三邊互成比例，那么這兩個三角形為相似三角形”的概念. 完成基礎概念教學后，給出如下例題：已知兩個三角形為相似三角形，其中一個三角形的邊長為3 cm，4 cm，5 cm，另一個三角形只能確定其中一條邊的長為12 cm，求這個三角形邊長存在的可能性. 此題要求學生對概念有較為全面的理解，解題過程中需要學生進行逆向思考，就算已知兩個三角形相似，則其邊長成比例，也需要考慮三種情況，且答案不止一個. 筆者在概念相關教學工作中結合逆向思維，引導學生對概念進行多角度思考，達到深化學生對概念的理解的目的.

數學相較于其他學科，存在較多的公式、定理，導致其知識內容更加抽象，難以理解，而定理看似存在固定的形式，但其運用方法卻會隨著實際情況的改變而改變，故筆者認為通過逆向思維可以幫助學生檢驗或者實踐定理，理解定理的準確性. 筆者在完成定理的基礎教學后，會引導學生利用反證法去理解定理，當學生認為定理不適用于反證法時，要求學生給出一個反例證明自己的觀點.

總之，逆向思維能力可以通過幫助學生高效學習的同時擴寬學生解題思路，進而達到強化學生數學能力的目的，教學中，教師要幫助學生樹立和鍛煉逆向思維意識，并給出逆向思維的應用方法，不斷提高學生的解題能力，培養學生的數學素養.