落實(shí)三項(xiàng)舉措 提高復(fù)習(xí)效率

李紅梅

[摘? 要] 應(yīng)用題是高考必考題型，也是學(xué)生求解質(zhì)量不高的題型，基于這個(gè)現(xiàn)狀，文章提出了應(yīng)用題復(fù)習(xí)的專(zhuān)題化設(shè)計(jì)的幾個(gè)路徑，復(fù)習(xí)中訓(xùn)練學(xué)生通過(guò)“圈讀、解讀、聯(lián)讀”等方法讀全、讀懂、讀通題意，從而準(zhǔn)確建模并強(qiáng)化運(yùn)算求解的示范、訓(xùn)練，切實(shí)提升學(xué)生的應(yīng)用題解題能力.

[關(guān)鍵詞] 應(yīng)用題;專(zhuān)題設(shè)計(jì);閱讀;運(yùn)算

應(yīng)用題教學(xué)是增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高數(shù)學(xué)建模和問(wèn)題解決能力的重要途徑. 應(yīng)用題，貫穿整個(gè)基礎(chǔ)教育學(xué)段，它不僅是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)育人、提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容，還是各類(lèi)考試必選的題型. 應(yīng)用題考查及題型創(chuàng)新，甚至成為高考命題設(shè)計(jì)的一大亮點(diǎn). 然而調(diào)查發(fā)現(xiàn)，盡管應(yīng)用題在高考配分上占有相當(dāng)?shù)臋?quán)重（8.8%～10%），但在整個(gè)高三的復(fù)習(xí)安排中，應(yīng)用題復(fù)習(xí)如何組織并未得到很好的落實(shí)，缺乏完整的專(zhuān)題設(shè)計(jì);學(xué)生應(yīng)用題求解的質(zhì)量也普遍不高，2017年至2019年的三年之中，江蘇省考生應(yīng)用題平均得分率僅為0.40，還出現(xiàn)了得分率僅0.35的情況. 應(yīng)用題，甚至成了一部分考生的“心理陰影”. 結(jié)合對(duì)應(yīng)用題教與學(xué)的現(xiàn)狀分析及本人的具體實(shí)踐，要提高應(yīng)用題復(fù)習(xí)的效果，必須精心落實(shí)好以下三項(xiàng)舉措.

加強(qiáng)應(yīng)用題復(fù)習(xí)的專(zhuān)題設(shè)計(jì)

專(zhuān)題復(fù)習(xí)是高三復(fù)習(xí)組織的基本形式. 專(zhuān)題通常以《課程標(biāo)準(zhǔn)》《考綱》為依據(jù)，從知識(shí)、方法、能力三個(gè)維度，立足于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容體系，進(jìn)行整體設(shè)計(jì). 通過(guò)系統(tǒng)的專(zhuān)題復(fù)習(xí)，使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)更加清晰、完整，綜合能力得到進(jìn)一步提升. 在一定程度上，高三復(fù)習(xí)的專(zhuān)題設(shè)計(jì)及實(shí)施水平，直接影響學(xué)生的考場(chǎng)表現(xiàn).

然而，縱觀整個(gè)高三復(fù)習(xí)的現(xiàn)狀，唯有應(yīng)用題復(fù)習(xí)的專(zhuān)題化程度及實(shí)施質(zhì)量是令人擔(dān)憂的. 一是少見(jiàn)有應(yīng)用題復(fù)習(xí)的專(zhuān)題設(shè)計(jì)，縱觀現(xiàn)行的不知其數(shù)的高三復(fù)習(xí)資料，幾乎沒(méi)有哪本現(xiàn)成資料上有目標(biāo)比較明確、專(zhuān)題比較突出、設(shè)計(jì)比較系統(tǒng)的應(yīng)用題專(zhuān)題. 加之時(shí)間、精力、能力等諸多方面的原因，一線不少教師也無(wú)暇自主進(jìn)行專(zhuān)題設(shè)計(jì)補(bǔ)充，往往只能停留于遇題講題的離散狀態(tài). 二是應(yīng)用題復(fù)習(xí)缺乏有力的“對(duì)癥”性措施. 復(fù)習(xí)時(shí)，對(duì)學(xué)生在應(yīng)用題方面究竟存在什么樣的問(wèn)題，查得不清、斷得不準(zhǔn)，對(duì)如何真正解決好學(xué)生存在的問(wèn)題，辦法不多、落實(shí)不力、訓(xùn)練不夠.

應(yīng)用題復(fù)習(xí)需要專(zhuān)題編設(shè)，需要有專(zhuān)題的復(fù)習(xí)安排. 應(yīng)用題背景一般源自現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)、生活，應(yīng)用題大凡是出于考查數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、能力的目的，通過(guò)逆向思維編制而成的. 應(yīng)用題專(zhuān)題可以通過(guò)常見(jiàn)的模型為線索展開(kāi)，如方程（組）型、不等式（組）型、函數(shù)型、統(tǒng)計(jì)（概率）型、線性規(guī)劃型等;可以由背景屬性為線索來(lái)組織，也可以由主要方法類(lèi)型為線索展開(kāi)，如平面幾何圖形性質(zhì)分析、坐標(biāo)解析法、數(shù)據(jù)分析法等;還可以從應(yīng)用題求解的關(guān)鍵環(huán)節(jié)——閱讀理解、模型建構(gòu)、運(yùn)算求解為線索組織. 應(yīng)用題的專(zhuān)題編制可以在備課組內(nèi)分工負(fù)責(zé)進(jìn)行，在備課組集體對(duì)應(yīng)用題復(fù)習(xí)的目標(biāo)設(shè)定、內(nèi)容組織、復(fù)習(xí)要點(diǎn)進(jìn)行集體研究的基礎(chǔ)上，按任務(wù)要求，進(jìn)行合理分工、分頭落實(shí). 應(yīng)用題專(zhuān)題復(fù)習(xí)，要在專(zhuān)門(mén)的集中的時(shí)間內(nèi)進(jìn)行，還可根據(jù)學(xué)生掌握的真實(shí)情況，采取集中專(zhuān)題訓(xùn)練與滾動(dòng)式滲透性訓(xùn)練相結(jié)合.

突出應(yīng)用題的閱讀理解

閱讀理解是應(yīng)用題求解的基礎(chǔ). 數(shù)學(xué)應(yīng)用題是所有數(shù)學(xué)問(wèn)題中閱讀難度最大的一類(lèi)問(wèn)題. 通常情況下，應(yīng)用題語(yǔ)言是現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)、生活中的語(yǔ)言，由于學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活經(jīng)歷、經(jīng)驗(yàn)的局限，需要學(xué)生對(duì)這種語(yǔ)言有較好的適應(yīng)和準(zhǔn)確的理解（生活語(yǔ)言數(shù)學(xué)化）. 應(yīng)用題的文字閱讀量較大，一般的應(yīng)用題都在150字（符）以上，有的甚至超過(guò)200字. 而且應(yīng)用題語(yǔ)句間，直接的邏輯聯(lián)系不明顯，學(xué)生要在3～5分鐘內(nèi)，讀全——不遺漏任何一個(gè)信息點(diǎn)，讀懂——理解每一句話的數(shù)學(xué)意義，讀通——頭腦中建立起每句話內(nèi)在的關(guān)系和聯(lián)系，不僅要注意力的高度集中，還需要有縝密的閱讀思維，更需要較高的語(yǔ)言轉(zhuǎn)化能力. 學(xué)生較多存在的應(yīng)用題畏懼心理，首先就反映在難過(guò)應(yīng)用題閱讀關(guān).

應(yīng)用題閱讀是有法可循的. 借助每一道具體問(wèn)題，系統(tǒng)指導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生“圈讀”“解讀”“聯(lián)讀”的習(xí)慣. “圈讀”指的是指導(dǎo)學(xué)生在閱讀過(guò)程中，及時(shí)進(jìn)行標(biāo)記（注），對(duì)題中重點(diǎn)、關(guān)鍵信息，尤其隱性、弱性信息進(jìn)行標(biāo)注;“解讀”指的是在學(xué)生準(zhǔn)確理解題中直接語(yǔ)言的基礎(chǔ)上，對(duì)其語(yǔ)義的數(shù)學(xué)化理解及轉(zhuǎn)化，它是閱讀的關(guān)鍵;“聯(lián)讀”就是將題中各語(yǔ)句間的內(nèi)在關(guān)系進(jìn)行梳理，建立各信息點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系. 訓(xùn)練學(xué)生準(zhǔn)確提取題中的“事件信息”“內(nèi)容信息”和“問(wèn)題信息”的能力，明確閱讀的任務(wù)方向. 以下題為例：

如圖1，某市有一個(gè)健身公園，由一個(gè)直徑PQ為2 km的半圓和一個(gè)以PQ為斜邊的等腰直角三角形PRQ構(gòu)成，其中O為PQ的中點(diǎn).現(xiàn)準(zhǔn)備在公園里建設(shè)一條四邊形健康跑道ABCD，按實(shí)際需要，四邊形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)C，D分別在線段QR，PR上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)A，B在半圓上，AB∥CD∥PQ，且AB，CD間的距離為1 km. 設(shè)四邊形ABCD的周長(zhǎng)為c km.

（2）求周長(zhǎng)c的最大值.

該題中“事件信息”是要在一個(gè)由半圓及等腰直角三角形的組合圖形內(nèi)建一條四邊形跑道. “內(nèi)容信息”是半圓的直徑是2 km，△PRQ是底邊為2 km的等腰直角三角形，四邊形ABCD是高為1 km的梯形. “問(wèn)題信息”是求梯形周長(zhǎng)的最大值. 本題的閱讀難度在于讀出四邊形ABCD為等腰梯形和其中的一個(gè)主變量，從而建立起“周長(zhǎng)”與該主變量之間的關(guān)系. 訓(xùn)練學(xué)生的“解讀”能力，關(guān)鍵就是如何在不同的背景下，選擇合適的主變量并找到相關(guān)量間的內(nèi)在聯(lián)系. 要準(zhǔn)確“解讀”題意，可從這幾個(gè)方面進(jìn)行分析：①對(duì)象的性狀——是什么對(duì)象（圖形結(jié)構(gòu)、數(shù)量關(guān)系）;對(duì)象處于什么狀態(tài)——確定的還是變化的. ②影響對(duì)象性狀的關(guān)鍵因素——如本題中四邊形ABCD的邊還是角（大小、位置）. ③已知與所求間的內(nèi)在聯(lián)系——主變與因變的關(guān)系.

概言之，應(yīng)用題閱讀關(guān)鍵在于通過(guò)系統(tǒng)、持久的訓(xùn)練，使學(xué)生熟練掌握怎么讀、讀什么.

強(qiáng)化應(yīng)用題運(yùn)算實(shí)踐

在不少時(shí)候，運(yùn)算被誤認(rèn)為是一種“簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)勞動(dòng)”而被忽視. 尤其是在應(yīng)用題訓(xùn)練中，無(wú)論是教還是學(xué)，往往習(xí)慣于以理解題意、建立關(guān)系為興奮點(diǎn)，嚴(yán)謹(jǐn)合理的運(yùn)算求解，通常被留著“課后”. 這種情形自初中“列方程（組）解應(yīng)用題”開(kāi)始，就被一直延續(xù)著，尤其到高中后，如果所列關(guān)系式的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，運(yùn)算量較大時(shí)，為了所謂的節(jié)約課上的時(shí)間，都不愿在課堂上對(duì)具體的運(yùn)算過(guò)程作充分的展開(kāi). 長(zhǎng)此以往，造成了學(xué)生對(duì)應(yīng)用題運(yùn)算求解的重視不夠、實(shí)踐虛浮、能力不足，最終無(wú)論是學(xué)生平時(shí)的作業(yè)練習(xí)，還是考試的關(guān)鍵時(shí)刻，“列而不求”“求而多錯(cuò)”就成了一種常見(jiàn)現(xiàn)象. 連續(xù)幾年的江蘇高考分析報(bào)告指出，應(yīng)用題運(yùn)算求解失分所占比例一直很高. 分析中還發(fā)現(xiàn)，考生運(yùn)算求解失分，主要由對(duì)“復(fù)雜”運(yùn)算的畏懼心理、對(duì)運(yùn)算路徑缺乏合理的規(guī)劃、對(duì)運(yùn)算結(jié)果缺少?lài)?yán)謹(jǐn)?shù)摹皺z驗(yàn)”（數(shù)據(jù)的背景意義關(guān)注不夠）等原因造成的. 這些與學(xué)生平時(shí)缺乏扎實(shí)的運(yùn)算實(shí)踐都有內(nèi)在的關(guān)系.

事實(shí)上，運(yùn)算過(guò)程包含著多種數(shù)學(xué)素養(yǎng)成分——運(yùn)算程序規(guī)劃、最簡(jiǎn)路徑設(shè)計(jì)、最優(yōu)方法選擇、換元轉(zhuǎn)化思想等. 運(yùn)算也是一種特定的數(shù)學(xué)思維，應(yīng)受到高度重視. 面向高考的高三應(yīng)用題復(fù)習(xí)，更要自覺(jué)強(qiáng)化運(yùn)算求解環(huán)節(jié)的落實(shí).

首先，要充分發(fā)揮好教對(duì)學(xué)的示范作用，課堂教學(xué)中要帶著學(xué)生一起“算”. 要從運(yùn)算程序的規(guī)劃、法則的遵循、路徑的選擇、方法的優(yōu)化、細(xì)節(jié)的推敲作全面展開(kāi). 要摒棄重結(jié)果輕過(guò)程的習(xí)慣，要在“算”的過(guò)程中挖掘和彰顯數(shù)學(xué)運(yùn)算所蘊(yùn)含的智慧精彩. 要以“問(wèn)題串”設(shè)計(jì)為抓手，使運(yùn)算求解的過(guò)程成為“想著算”的過(guò)程. 如前所列題例中，若以CD長(zhǎng)（設(shè)為2x）為主變量，則最終的關(guān)系式為c=2x+2+2（0

①根據(jù)運(yùn)算式的結(jié)構(gòu)特征及x的取值范圍，通過(guò)什么途徑，可使式子得到簡(jiǎn)化？（在嘗試比較后選擇三角換元）所得簡(jiǎn)化式為c=2sinθ+2cosθ+2.

③你的下一步打算是什么？借助什么途徑求得c的最大值？

其次，要嚴(yán)格對(duì)學(xué)生運(yùn)算過(guò)程實(shí)踐的要求，克服運(yùn)算畏懼心理和惰性習(xí)慣. 平時(shí)的作業(yè)訓(xùn)練，要求學(xué)生提供具體的運(yùn)算過(guò)程，并對(duì)“算法”選擇作簡(jiǎn)要說(shuō)明（因?yàn)榱?xí)慣上的“化簡(jiǎn)、求解”的背后隱匿了太多虛空的東西）.

第三，要重視基于思維發(fā)散的路徑優(yōu)化訓(xùn)練. 應(yīng)用題的解答是一項(xiàng)“大運(yùn)動(dòng)量”活動(dòng)，運(yùn)算求解只是其中最后一個(gè)環(huán)節(jié)，通常情況下，學(xué)生容易出現(xiàn)“體力不支”的現(xiàn)象而影響最后的運(yùn)算投入. 路徑探究，直接決定“模型”式的繁簡(jiǎn)及解題的運(yùn)動(dòng)總量. 還以前例為例，如果選擇解析法：以O(shè)為原點(diǎn)，RO所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)B（cosθ，sinθ），θ∈0

，，則比較容易地就能得出c=2sinθ+2cosθ+2. 同樣，如果選擇直線RO與OB構(gòu)成的銳角θ為主變量建立模型，也能使求解的運(yùn)算總量減輕.

最后，要強(qiáng)化運(yùn)算細(xì)節(jié)的關(guān)注，應(yīng)用題的運(yùn)算求解，就運(yùn)算對(duì)象而言，具有數(shù)據(jù)“大”及數(shù)據(jù)的實(shí)際意義規(guī)定的特點(diǎn)，如何通過(guò)“單位”轉(zhuǎn)換將數(shù)據(jù)“化大為小”，如何始終關(guān)注數(shù)值的“取值范圍”都是運(yùn)算求解時(shí)特別重要的細(xì)節(jié)，細(xì)節(jié)往往決定成敗.