落實核心素養，探究教學建構

劉勃

[摘 ?要] 課程改革聚焦“核心素養”，旨在探索發展學生核心素養的途徑和舉措，新修訂的高中數學課程標準中將核心素養提煉為數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析等六方面內容. 數學的核心素養是思維品質、關鍵能力、情感、態度和價值觀的綜合體現，文章結合“直線與平面垂直”內容探討核心素養在課堂教學中的落實方案.

[關鍵詞] 核心素養;數學;探究;教學

立足學科素養構建數學課堂，不僅需要使學生掌握相應的基礎知識，還需要培養學生的思維品質，提升學生的綜合能力. 教學中需要根據課程的教學標準來挖掘內容本質，以培養學生的核心素養作為教學目的，結合學情精設教學過程，促使數學的核心素養有效落實到課堂教學的每個環節中. 下面將立足數學核心素養的內容，開展“直線與平面垂直”的內容分析和教學探討.

圍繞核心素養，分析教學內容

“直線與平面垂直”是人教A版高中數學必修2第二章的內容，教學的重點是直線與平面垂直的定義、判定定理和性質定理. 線面垂直是直線與平面相交的一種特殊情形，是相對于“線面平行”的另一種位置關系，其中的“平面化”蘊含了數學的“降維”思想，用以培養學生的空間想象和邏輯思維能力. 教學中要引導學生探索、認識空間幾何的結構特征，了解直線與平面垂直關系的判定條件，總結直線與平面垂直的性質.

章節內容的核心詞是“垂直”，而“垂直”在描述直線、平面位置關系中起著至關重要的作用. 教材將章節內容置于“平行關系”之后，旨在類比“平行關系”進行內容探討，即整體上提出“直線與平面垂直”的概念、定理和性質的猜想，體驗知識探究的過程，自主獲得相應的知識. 教學中需要融合幾何直觀與空間想象，結合合情推理和論證推理，提升學生對空間幾何的理解，體會內容的數學思想，培養學生的核心素養.

通過對前面章節“線、面平行關系”的學習，學生已初步具備了空間想象、思維能力，因此可以獨立使用數學語言來表述幾何要素的位置關系. 但對于其中的特殊情形還難以把握，不清楚幾何要素之間的聯系與轉化條件，難以建立直線與平面垂直的知識網絡.基于上述分析，提出以下教學思路：圍繞核心素養中的內容，提倡采用探究式的教學方式，結合生活中的實例，引導學生體驗直觀感知、發現猜想、思辨論證、理論應用的探究活動.

貫徹核心素養，實施課堂教學

根據上述分析，為貫徹數學的核心素養，“直線與平面垂直”的內容教學需要遵循“直觀感知—發現猜想—思辨論證—應用強化”的思維過程，通過活動設計、設問引導、推理論證來幫助學生完成定義概括、定理論證和性質歸納. 教學中應結合生活實例，從中抽象數學模型，結合常見的數學道具、多媒體演示等來幫助學生理解空間關系.

1. 以直觀想象為突破口實現數學抽象

線面垂直的概念引入是教學的關鍵環節，該環節需要完成認知過渡和概念定義，基于核心素養的內容要求以直觀想象為突破口實現數學抽象，即由生活實例來抽象數學模型. 結合數學抽象思維的要點，設計如下抽象過程：實物→模型→直觀空間圖.

對于直線與平面垂直的定義，教學中首先利用多媒體呈現圖1所示的實物圖片，引導學生分別分析旗桿與地面、橋柱與水面的位置關系;然后讓學生從數學角度來分析是什么幾何元素之間的垂直;最后引入數學符號，構建直線與平面的垂直模型：直線a和平面α，即根據實物所代表的線和平面來抽象模型，引入數學符號來構建直觀的幾何圖像，完成實物向幾何模型的抽象過程. 教學中只需要引導學生根據實物關系來分析直線a和平面α的位置關系，完成垂直概念的引入.

而對于“直線與平面垂直的性質”教學抽象則可以聯想生活中常見的白楊樹，如圖2所示. 首先讓學生分析每棵白楊與地面之間的位置關系（垂直），然后觀察白楊樹干之間的位置關系（平行）. 基于此聯想中學常見的空間幾何圖形，在不考慮物體形狀和大小，僅考慮其中線面關系的前提下，則可以將其抽象為常見的幾何體——長方體ABCD-A1B1C1D1（如圖3），其中的AA1，BB1，CC1，DD1均與地面ABCD垂直，而相互之間為平行關系.在此基礎上進一步抽象引導，對長方體模型進行多余拆除，僅留下棱長AA1，BB1和平面ABCD，從而得到圖4所示的空間模型：直線a和b，以及平面α，其中a⊥α，b⊥α.

數學模型是數學與外部聯系的紐帶，數學建模則是利用數學的語言符號來描述事物特征、屬性的重要方式，有利于學生從整體上把握事物本質. 而數學抽象則可以溝通數學模型和外部事物，對以直觀想象為突破口進行數學抽象、構建數學模型有著現實的意義. 教師可以增強學生用數學術語表征事物特性的能力，提升學生的整體意識，培養學生的“直觀想象、數學抽象、數學建?！钡暮诵乃仞B.

2. 以數學模型為平臺助推邏輯推理

數學模型是數學應用的重要平臺，也是諸多學科開展探索研究的重要工具. 數學模型舍棄了事物非本質的屬性和特征，對事物的數量關系和圖形特性進行了高度凝練，其中含有事物的一般規律，因此可以借助數學模型進行深入分析，重現知識生成過程，總結其中的規律，形成性質定理. 教學中應借助數學模型所提供的平臺作用來進行邏輯分析，論證推理.

“邏輯推理”是數學思維的主要形式，也是數學的核心素養，在教學中可以由數學模型出發，基于模型來開展推理活動，對其中的性質猜想進行嚴謹論證. 在邏輯推理的過程中需要充分利用模型的引導作用，以其為基礎開展探究活動，從大膽猜想到思辨論證，由論證的結論歸納成性質定理.

以“直線與平面垂直的判定”為例，教學中同樣需要借助由實物抽象的數學模型，引導學生由猜想到判定定理的論證. 可以采用“猜想辨析—操作論證—辯證歸納”的思維設計，即首先觀察數學模型，猜想模型中直線與平面垂直的條件，然后進行操作辨析，結合實踐、推理活動來形成相應的判定定理.

環節一：觀察猜想

模型猜想：給出圖5所示的數學模型，其中直線AB⊥平面α，AB∩α=B，直線BC，B′C′？奐平面α（模型中直線AB表示直立于地面α上的旗桿，而BC為旗桿在地面上的影子，B′C′表示地面上的一根直桿）. 試猜想AB與B′C′之間的位置關系，由此可以得到什么結論？

辨析猜想：模型猜想是建立在直線AB⊥平面α之上，教學中可以采用模型辨析的方式進一步邏輯推理，如圖6所示，其中的AC和AD視為是牽引旗桿AB的鎖鏈，分析AC和AD是否也與平面α內的任意直線相垂直？

形成猜想：引導學生采用“降維”思想對模型中的特性作出猜想，同時利用圖6的反面模型來加深印象，深刻感知直線與平面垂直的本質內容. 通過觀察思考學生可以做出AB⊥B′C′的猜想，進而得出AB垂直于平面內的任意一條直線.

環節二：操作論證

討論的重點是“一條直線垂直于一個平面”與“這條直線垂直于該平面內的任意一條直線”間的關系，教學中同樣可以基于數學模型開展論證，設計如下活動.

活動：讓學生準備一塊三角形紙板，將紙板△ABC過頂點A進行翻折，折痕為AD，然后將其豎直放置在桌面上（BD和DC與桌面相接觸），基于此可以構建圖7所示的模型.

設問：①折痕AD與桌面的位置關系？

②如何翻折才能使AD與桌面所在平面相垂直？

③由折痕AD⊥CD所得翻折后為垂直關系，即“AD⊥CD”→“AD⊥BD”，可以得出什么結論？

猜想論證：基于數學模型開展實踐活動，學生對其中的“垂直”與“不垂直”兩種情形進行交流，根據線面垂直的定義對上述三問進行分析，從而確定AD⊥BC時，翻折后折痕AD與桌面所在平面垂直，從而由數學模型論證了線面垂直的條件.

環節三：辯證歸納

基于模型完成線面垂直條件的論證后即可完成判定定理的總結歸納，同樣可以結合數學模型.引導學生思考如下問題：如圖8所示，位于平面α內的兩條相交直線m和n，若有l⊥m，l⊥n，直線l是否垂直于平面α？若m和n不相交呢？

引導辨析：辨析的重點是平面內的兩條直線是否相交，即對于圖9所示的情形，l⊥m，l⊥n，但m∥n，顯然直線l不與平面α垂直.而教學歸納的重點則是用語言表述，結合數學模型，基于判定定理的內容用數學的符號語言來表述.

條件：①一個平面內的兩條直線→m，n？奐平面α;②兩條直線相交→m∩n =O;③一條直線與兩條直線m，n垂直→l⊥m，l⊥n.

結論：該直線與平面垂直→l⊥α.

教學中需要合理結合模型，利用直觀的圖像進行猜想推理、辨析驗證，幫助學生理解數學定理的本源，養成推理有理、推理有據的思維習慣. 同時由模型推理到結論生成的過程中有助于提升學生探究事物本質的能力，以及創新能力.

3. 以邏輯推理為依托融合核心素養

邏輯推理作為重要的思維形式之一，能夠促進核心素養的融合，引導學生以正確的思維方式理解數學的概念、定理、命題，理解整個數學學科的結構，提升學生的建模能力和數學運算能力.以邏輯推理為依托進行核心素養融合，需要從知識的應用角度出發：結合問題條件，通過邏輯推理來構建數學模型，結合邏輯推理開展數學運算，促進問題的準確作答.

（1）以邏輯推理為依托強化建模能力

結合邏輯推理激活數學建模可以提升學生的建模能力，正方體是高中數學需要重點掌握的特殊的空間幾何體，可通過對正方體內線面關系的邏輯推理來構建相應的論證模型.“直線與平面垂直”的性質定理較多，教學“垂直于同一個平面的兩條直線平行”時可引入正方體. 在正方體中作出兩條直線a和b，來探究兩直線平行滿足的條件. 正方體ABCD-A1B1C1D1，嘗試在不同的平面中作出直線a和b，探究a∥b需滿足的條件.

邏輯分析：具體思路為“a⊥α，b⊥α”→“a∥b”. 直線a和b需分屬兩個不同的平面，而在正方體內平面之間主要有兩類位置關系：平行和垂直，其中平行的兩平面為對面關系，而垂直的兩平面為相鄰關系，因此可以構建兩類模型. 另外要確保兩直線相平行，可使兩直線垂直于同一平面（垂直于同一個平面的兩條直線平行）.

模型構建：從而可構建圖10所示的滿足條件的兩個模型（a）和（b），其中模型（a）的兩條直線a和b（圖示加粗線段）分屬平面A1B1C1D1和ABCD，所在平面為平行關系，兩平面同時垂直于平面CDD1C1;而模型（b）中直線a和b分屬平面A1B1C1D1和BCC1B1，兩平面同時垂直于平面CDD1C1.兩大模型構建所依據的性質定理均一致，實現了“線面垂直→線線平行”的轉化.

（2）以邏輯推理為依托強化數學運算

利用邏輯推理可以強化學生的數學運算能力，適用于后續的定理應用探究中，即以空間幾何定理為出發點分析圖像，結合邏輯推理開展數學運算，以一道線面垂直的考題為例.

例題：對于圖11所示的四棱錐A-BCDE，其中AD=，CD∥BE，∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=，試證明直線AC⊥平面BCDE.

邏輯推理：對于空間幾何問題，除了可以從“形”的角度進行分析，還可以從“數”的角度來論證線面垂直. 根據線面垂直的判定定理可知只需要確保AC與平面BDCE內的兩條相交直線垂直即可.初步分析求證“AC⊥CD和AC⊥BC”即可.

數學運算：求證AC⊥CD和AC⊥BC可以將相關線段放置到三角形中，分析三邊長是否滿足勾股定理即可. 具體如下，在△ADC中，有AD=，CD=2，AC=，顯然AD2=DC2+AC2，則AC⊥CD. 連接BD，分析可知四邊形BCDE為直角梯形，分析可知∠BDC=45°，在△BDC中，BC2=BD2+CD2-2BD·CDcos45°，則BC=. 在△ABC中，AC=，AB=2，BC=，則AB2=AC2+BC2，則AC⊥BC. 綜合AC⊥CD，AC⊥BC，可知直線AC⊥平面BCDE.

邏輯推理是高中階段需要重點培養的核心素養，而依托邏輯推理進行應用探究可以強化學生建模能力、運算能力. 在定理的應用教學中，應圍繞“邏輯推理”核心素養開展問題分析、模型建構、計算推理.讓學生體會利用定理破除困難，構建解題思路，這是教學的難點，也是提升學生綜合素養的關鍵所在.

總之，開展“直線與平面垂直”的內容教學，引導學生“如何思考”“如何探究”，實則就是培養學生的核心素養，也是思想層面的教學要求. 實踐表明，要給學生留足思考的空間，采用知識探究的教學方式，讓學生體驗知識生成的過程. 教學環節應以從生活實際中提取素材，以直觀想象為突破口實現數學抽象;借助直觀模型，利用數學模型提供的平臺開展數學探究，助推邏輯推理;強化知識應用，以邏輯推理為依托來融合核心素養，提升學生的建模、運算能力. 素質教學是學生參與、知識領悟的過程，只有以探究的方式進行教學才能確保課堂高效，培養學生的核心素養.