淺談初中函數解析式的探求

鄭志斌

【摘要】函數解析式是初中數學課程的主要內容之一，探求函數關系式表示方法有解析法、列表法和圖像法等，其中函數解析式是最常用的一種方式。

【關鍵詞】初中 ?函數 ?解析式 ?例題

【中圖分類號】G633.6 ?【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2020）18-0151-01

一般情況下，要想確定實際問題中函數的解析式，首先明確它是哪種函數類型，然后利用待定系數法求解。比如，正比例函數y=kx（k≠0）由于只含一個待定系數，只要給一組對應值，建立方程即可求得k的值。對于一次函數y=kx+b（k≠0），則需要給兩組對應值，列出兩個方程，（即建立一個關于k、b的二元一次方程組，求出k、b的值），對于二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的解析式有三種表達形式。可根據不同條件設為不同的解析式。若知道圖像上的三個點的坐標宜選用一般式：y=ax2+bx+c，若知道頂點坐標或對稱軸才宜選用頂點式：y=a（x-h）2+k，若知道圖像與x軸的兩個交點坐標x1，x2，宜選用交點式：y=a（x-x1）（x-x2）。再根據給出條件，求得函數解析式。

一、從方程（組）中探求函數解析式

方程與函數聯系密切，解決這類問題要找準切入點，注意函數的圖像信息與方程的代數信息的轉化。

例1.某商店將每件進價為8元的某種商品按每件10元出售，一天可銷出約100件。該店想通過降低售價、增加銷售量的辦法來提高利潤，經過市場調查，發現這種商品單價每降低0.1元，其銷售量可增加10件。將這種商品的售價降低多少時，能使銷售利潤最大？

分析：在這個問題中，可提出如下問題供學生思考并回答：

1.商品的利潤與售價、進價以及銷售量之間有什么關系？ ? [利潤=（售價-進價）×銷售量]

2.如果不降低售價，該商品每件利潤是多少元？一天總的利潤是多少元？

[10-8=2（元），（10-8）×100=200（元）]

3.若每件商品降價x元，則每件商品的利潤是多少元？一天可銷售約多少件商品？

[（10-8-x）;（100+100x）]

4.x的值是否可以任意取？如果不能任意取，請求出它的范圍，

[x的值不能任意取，其范圍是0≤x≤2]

5.若設該商品每天的利潤為y元，求y與x的函數關系式。

[y=（10-8-x）（100+100x）（0≤x≤2）] 即y=-100x2+100x+200（0≤x≤2）

點撥：此題按照列方程解應用題思想，一步一步找出數量之間的關系，并最終把數量關系轉化成函數關系，此題還可畫表格進行分析。

二、幾何圖形中函數解析式的探求

幾何圖形中要建立函數關系：將題目中的幾何量用含有字母的代數式表示，轉化為我們熟悉的三角形，四邊形等圖形中的量，利用一些圖形特定性質和幾何定理求出函數解析式及其自變量的取值范圍。

例2.如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，截取AE=BF=DG=x.已知AB=6，CD=3，AD=4.求四邊形CGEF的面積S關于x的函數表達式和x的取值范圍。

分析：求四邊形CGEF的面積S可轉化成直角梯形ABCD

面積分別減去△EGD，△EFA和△BCF的面積，再把直角梯形ABCD，△EGD，△EFA和△BCF的面積分別用x的形式表示出來

解：S=S梯形ABCD-S△EGD-S△EFA-S△BCF

點撥：自變量的取值范圍應該考慮幾何的實際意義。

三、實際應用問題中的函數解析式的探求

例3.某廣告公司設計一幅周長為12米的矩形廣告牌， 廣告設計費為每平方米1000元，設矩形一邊長為x米，面積為S平方米。求出S與x之間的函數關系式，并確定自變量x的取值范圍。

解： 由矩形的一邊長為x米，得另一邊長為米，即（6-x）米，∴S=x（6-x）=-x2+6x，即S=-x2+6x，其中0

點撥：注意自變量取值范圍應符合實際意義。

四、教學反思

對于函數解析式的探索關鍵是：要建立函數模型，根據條件確定函數的表達式，其中包括自變量的取值范圍。自變量取值范圍應考慮解析式有意義，另外還應考慮到幾何或實際背景的限制。

參考文獻：

[1]王建磐主編，義務教育課程標準實驗教科書[M]上海：華東師范大學出版社。