探究一題多解的解題策略

郭晶晶

摘 要：在數學學習中，圓錐曲線問題一直是學生捉摸不透的問題，而圓的問題也是圓錐曲線里頗為重要的問題，學生在進行該部分知識內容學習時應當不斷就該類問題的實際解決方式進行探究。該類問題往往可以用多種方法解題，一題多解是強化學生知識脈絡、深度拓展解題思維的一種重要的學習方式，老師在解題教學中應采用較有特色的“一題多解”來滲透對學生數學核心素養的培養。本文通過對一道與圓有關的軌跡方程的問題對一題多解的解題策略進行探討。

關鍵詞：一題多解 數學核心素養 圓錐曲線 軌跡 圓

前言

大多數學生認為數學是枯燥乏味的，對數學的學習不勝其煩。因此，有很多學生都在學習數學方面有著不小的困擾，那么要怎樣才能學好數學呢？其實，學習數學不只要多做題，還要注重數學核心素養與數學思維的培養。數學題目復雜多變，要真正摸透其根源，就要從多個角度去探詢它。“一題多解”并不意味著單純的尋找解法，而是從多個方面多個角度去剖析挖掘問題的深層結構，利用不同的數學知識，不斷地去更新學生的數學認知結構。在教學過程中，老師要從多方面多角度出發，從側面培養學生多方面多角度思考問題，培養學生“一題多解”的核心素養，提高學生的數學思維能力。本文從一道與圓有關的軌跡方程問題出發，來探究一題多解的解題策略，從而培養學生的核心素養。

一、探究例題的多種解法

題目外一點P（5，2），割線交圓于A、B，求弦A、B的中點軌跡方程。

分析 本題是一道求軌跡方程的題，主要考察的是軌跡方程的求法，此題做法非常靈活，涉及初高中多個知識點，引導學生從多個方面證明，既有利于學生對考察的知識點進行鞏固，又有利于對學生創造性思維進行培養，從不同角度運用數學概念，強化、深化、活化有關數學知識，使學生擺脫題海戰術，能夠逐步靈活運用解題方法的真諦，舉一反三，從而進一步提高學生的靈活解題思維。

1.建立直線方程，利用點差法求解

分析1 首先，我們可以從圓錐曲線的角度來分析，這是有關于交點坐標的問題，我們可以想到利用點差法和韋達定理來求解。在解題過程中，我們要注意斜率的取值范圍，對不同情況進行分類討論。

解題1 設A、B的坐標分別為，中點M的坐標為，設割線方程為。

①當k不存在時，直線與圓無交點，不符合題意，即k必然存在。

②當k=0時，直線方程為y=2，聯立直線方程與圓的方程得，即，M為（0，2）。

③當k≠0時，直線方程為，聯立直線方程與圓的方程得

聯立中點M的軌跡方程和圓的方程，得到交點坐（0.6，2.94）（2.47，-1.70）標，所以的取值范圍為[-3，2.47]。

所以中點的軌跡方程為

2.建立直線方程，利用代入消元法求解

分析2 我們利用斜率來求解，先將A、B兩點分別代入圓方程，然后聯立兩個方程，兩式相減，得到一條公直線方程，再將公直線方程與直線方程相比，消去同類項，得到關于M的軌跡方程。

解題2 設A、B的坐標分別為，中點M的坐標為，設割線方程為。

①當k不存在時，直線與圓無交點，不符合題意，即k必然存在。

②當k=0時，直線方程為y=2，聯立直線方程與圓的方程得，即，M為（0，2）。

③當k≠0時，直線方程為，即

將A、B兩點代入圓的方程得

兩式相比，消去同類項得

而M（0，2）滿足該方程，即M的軌跡方程為

聯立中點M的軌跡方程和圓的方程，得到交點坐（2.47，-1.70）（0.6，2.94）標所以的取值范圍為[-3，2.47]。

所以中點的軌跡方程為

3.運用垂徑定理求解

分析3 我們發現，在運用點差法和代入消元法時，都會有一個共同的特點，就是計算量大，求解時間過長，而且特別容易出錯，那么我們由M為弦AB的中點就很容易想到從圓的性質出發，使用垂徑定理，利用垂直的兩條直線的斜率乘積為-1來求解比前兩種方法要簡單得多。

解法3 設割線方程為，中點坐標為。

①當k不存在時，直線與圓無交點，不符合題意，即k必然存在。

②當k=0時，直線方程為y=2，聯立直線方程與圓的方程得，即，M為（0，2）。

③當k≠0時，直線方程為，則，由垂徑定理得OM⊥AB得 即，化簡得。

聯立中點M的軌跡方程和圓的方程，得到交點坐標（2.47，-1.70）（0.6，2.94）所以的取值范圍為[-3，2.47]。

所以中點的軌跡方程為

4.運用向量法求解

分析4 向量法同樣需要使用垂徑定理，但好處是不需要設直線方程，不需要討論斜率的范圍。

解題4 設中點坐標坐標為，，由垂徑定理得，，那么，即。

聯立中點M的軌跡方程和圓的方程，得到交點坐標（0.6，2.94） （2.47，-1.70），所以的取值范圍為[-3，2.47]。

所以中點的軌跡方程為

二、總結一題多解的套路

在解題的過程中，我們往往容易因為慣性思維而忽視思考，用常用的方法去解題，但最常用的方法并不一定是最好的，只有當每種情況都考慮到了，我們才能找出最簡單的方法。對于一題多解的探究需要透過問題現象來把握問題本質，從解題的思路入手，選取最合適的解題思想和方法，用思想指導方法，用方法簡化過程，最終實現高效解題的目的。通過上述例題的四種解法，我們可以發現，一題多解的套路大概需要5個步驟：

1.首先我們需要從圓的概念出發，聯想關于圓的一些相關特征，探究解題的策略。

2.其次我們需要從題目考察的知識點出發，聯想與這些知識點相關的解題方法，探究解題的策略。

3.再然后我們由圖形的相關特征出發，聯想圖形的一些信息，探究解題的相關策略。

4.之后我們從常用的一些解題方法出發，深入挖掘思考，探究解題策略。

5.最后我們再從平時常見的數學模型入手，運用這些模型來探究解題策略。

一題多解的本質就是通過多方面多角度的分析，探究問題的多種解題方法.因此在解題過程中，如果我們能從概念、題目所考察的知識點、圖形的相關特征、常用的解題方法和數學模型這幾個維度入手，往往就可以幫助我們找到問題的切入點，從而發現解決問題的基本策略。

結語

通過進行一題多解的練習，學生可以不斷鞏固和運用不同的思想方法、數學知識，不斷地加深對已有認知結構地理解，突破自己的知識瓶頸，進而形成新的知識認知結構體系。通過老師系統的講解一題多解，能夠培養學生的創新意識與創新能力，鍛煉學生的數學思維，提高課堂效率。在課堂教學中通過方法和思想的雙重指導，充分給予學生思考、解決問題的空間，充分發揮學生的主體性，有利于學生間的相互交流，提升學生的解題能力，發展學生思維的靈活性，開發學生的發散性思維，從而培養學生思維的開拓性，逐步培養學生的數學思維品質，形成數學的核心素養。

數學題目的求解，萬變不離其宗，一個知識點可以創造出多個題目，一個題目也可以衍生多個知識點，在我們的教學過程中，我們不能剝奪學生的主體地位，要多給學生思考的時間，我們能做的只是傳授學生好的思想方法，引導學生自己主動去思考，培養學生的主觀能動性。通過一題多解，我們能夠幫助學生更好的去發現問題、理解問題和解決問題，從而培養學生的核心素養。

參考文獻

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