數(shù)學(xué)單元起始課教學(xué)設(shè)計(jì)的原則和方法

王華

摘? ?要 單元起始課教學(xué)為整個(gè)單元的學(xué)習(xí)提供了相關(guān)背景、知識(shí)框架、邏輯體系和應(yīng)用價(jià)值。單元起始課的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)遵循整體性原則、持續(xù)性原則、多樣性原則和適切性原則，基本方法是運(yùn)用結(jié)構(gòu)思維類比式設(shè)計(jì)、運(yùn)用本質(zhì)思維歸納式設(shè)計(jì)、運(yùn)用整體思維分解組合式設(shè)計(jì)和運(yùn)用普適思維演繹式設(shè)計(jì)。

關(guān)鍵詞 單元起始課? 教學(xué)設(shè)計(jì) 基本原則? 基本方法

單元起始課是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的重要組成部分，為整個(gè)單元的學(xué)習(xí)提供了相關(guān)背景、知識(shí)框架、邏輯體系和應(yīng)用價(jià)值。在實(shí)際教學(xué)中，教師盡管知道起始課的價(jià)值，但苦于教材只有章引言、章頭圖等有限的課程資源，教師難以有效地組織教學(xué)內(nèi)容和開展教學(xué)活動(dòng)，因而起始課教學(xué)總是得不到應(yīng)有的重視。那么，如何有效地進(jìn)行單元起始課的教學(xué)設(shè)計(jì)呢？單元起始課教學(xué)設(shè)計(jì)的基本原則有哪些？有什么操作性強(qiáng)的設(shè)計(jì)方法嗎？本文討論單元起始課過程組織設(shè)計(jì)的基本原則和方法。

一、單元起始課教學(xué)設(shè)計(jì)的基本原則

1.整體性原則

單元起始課教學(xué)設(shè)計(jì)的整體性原則主要表現(xiàn)在三個(gè)方面：第一，知識(shí)內(nèi)容的整體性。起始課的教學(xué)設(shè)計(jì)須要將本單元零散的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法加以整合，從整體上加以把握，讓學(xué)生初步感知整個(gè)單元的知識(shí)結(jié)構(gòu)。第二，學(xué)生認(rèn)知的整體性。起始課的教學(xué)應(yīng)當(dāng)結(jié)合學(xué)生的心理特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律形成整體思維，既讓學(xué)生知道本單元學(xué)什么，又讓其明白為什么學(xué)和怎么學(xué)，從而統(tǒng)領(lǐng)單元教學(xué)。第三，教學(xué)安排的整體性。在單元整體思維的統(tǒng)領(lǐng)下，起始課既是單元教學(xué)的第一步，又是統(tǒng)攬全局的重要一步，教學(xué)中的每一步和每一個(gè)環(huán)節(jié)都應(yīng)置于單元教學(xué)的整個(gè)系統(tǒng)之中考慮。

2.持續(xù)性原則

單元起始課應(yīng)為單元教學(xué)奠定基調(diào)，引發(fā)后續(xù)教學(xué)的持續(xù)性研究，即單元起始課教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)關(guān)注持續(xù)性原則。其主要表現(xiàn)在三個(gè)方面：第一，知識(shí)層面。起始課的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)為整個(gè)單元提供知識(shí)框架，并揭示知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，從而有利于后續(xù)每一個(gè)子知識(shí)的“精致”教學(xué)。第二，方法層面。起始課的教學(xué)設(shè)計(jì)不能局限于事實(shí)性、概念性知識(shí)層面，更應(yīng)關(guān)注學(xué)生用怎樣的思維方式、思想方法來完成整個(gè)單元的學(xué)習(xí)。因?yàn)閷?duì)學(xué)生而言，“怎么學(xué)比學(xué)什么更重要”，唯有這樣才能滋生可持續(xù)的學(xué)習(xí)力。第三，價(jià)值層面。起始課教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)的必要性，揭示知識(shí)背后的育人價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生形成持續(xù)而穩(wěn)定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

3.多樣性原則

多樣性原則是單元起始課教學(xué)設(shè)計(jì)的重要原則，其主要表現(xiàn)為教學(xué)設(shè)計(jì)的方法是多樣的，原因在于：不同的教學(xué)內(nèi)容處理的方法是不盡相同的;不同的教師對(duì)單元起始課的目標(biāo)定位、內(nèi)容理解是不同的;不同的學(xué)生所具備的認(rèn)知基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)方式、學(xué)習(xí)能力也是不完全一致的。顯然用唯一的標(biāo)準(zhǔn)去設(shè)計(jì)單元起始課是不合適的，根據(jù)單元規(guī)模的大小、新知產(chǎn)生的方式以及學(xué)生接受的方式等，可以多樣化設(shè)計(jì)教學(xué)。

4.適切性原則

適切性原則是指教師在單元起始課教學(xué)設(shè)計(jì)的過程中應(yīng)找到一種適合教師自身特點(diǎn)的建構(gòu)方式，并使這一方式最大限度適合學(xué)生的學(xué)情，以實(shí)現(xiàn)知識(shí)和能力在教學(xué)中的融合。適切性原則主要考慮以下三個(gè)方面：第一，根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，合理設(shè)置教學(xué)目標(biāo)，組織適切的教學(xué)內(nèi)容;第二，根據(jù)內(nèi)容特點(diǎn)，在理解數(shù)學(xué)的前提下選擇合適的教學(xué)方式;第三，根據(jù)學(xué)生情況，創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知的教學(xué)活動(dòng)。適切性原則是單元起始課教學(xué)設(shè)計(jì)最為重要的原則，它是多樣性原則的根本原因之所在。

二、單元起始課教學(xué)設(shè)計(jì)的基本方法

1.運(yùn)用結(jié)構(gòu)思維類比式設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)有其獨(dú)特的思維品質(zhì)和結(jié)構(gòu)內(nèi)涵，從某種意義上說，數(shù)學(xué)就是一種結(jié)構(gòu)。從結(jié)構(gòu)思維的角度看，起始課需要學(xué)生明晰章節(jié)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，將學(xué)習(xí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，從而快速找到學(xué)習(xí)的切入點(diǎn)，避免耗時(shí)低效，并全面解答為什么學(xué)和怎么學(xué)的問題。那么，如何將新知識(shí)結(jié)構(gòu)化？學(xué)生的已有認(rèn)知是重要的資源，通過對(duì)已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)對(duì)象的研究內(nèi)容及方法的回顧，發(fā)現(xiàn)新知與舊知在部分研究內(nèi)容和方法上存在著明確的聯(lián)系，具有類似的性質(zhì)，因而可以將舊知作為類比源，類比已掌握知識(shí)的結(jié)構(gòu)去建構(gòu)新知，從而將學(xué)習(xí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，具體操作見圖1。

例如，分式的章節(jié)起始課。學(xué)生在分式的學(xué)習(xí)之前已經(jīng)掌握分?jǐn)?shù)及其運(yùn)算，頭腦中有了分?jǐn)?shù)相關(guān)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，這為分式的學(xué)習(xí)奠定了良好的認(rèn)知基礎(chǔ)，提供了學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。教師可以從蘇科版教材章頭圖的長方形面積、火車行駛兩個(gè)情境出發(fā)，提出相關(guān)的問題，獲得一串式子：，讓學(xué)生經(jīng)歷表示分式的抽象活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)一類新的代數(shù)式，體會(huì)從分?jǐn)?shù)到分式的概念形成過程，并尋找分式的共同特征。設(shè)計(jì)“等寬長方形”操作活動(dòng)，將若干張全等的長方形紙片依次拼接成較大的長方形，讓學(xué)生體會(huì)分式值的不變性，并回顧分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，“看見”分式的基本性質(zhì)。進(jìn)一步結(jié)合“乒乓球與網(wǎng)球”的實(shí)際情境，在發(fā)現(xiàn)乒乓球與網(wǎng)球有很多規(guī)則上的相似之處的基礎(chǔ)上，提出“網(wǎng)球有哪些規(guī)則”的問題，促使學(xué)生類比、參照乒乓球規(guī)則。運(yùn)用這種結(jié)構(gòu)思維，學(xué)生感受了分式不僅與分?jǐn)?shù)形式相同，而且分式有類似于分?jǐn)?shù)的性質(zhì)的過程，自然形成了分式類比分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，進(jìn)而借助分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)構(gòu)建分式的內(nèi)容結(jié)構(gòu)（見圖2）。

當(dāng)然，運(yùn)用類比思想研究問題時(shí)，不僅要關(guān)注兩類事物的相同點(diǎn)，而且要考慮它們的不同點(diǎn)。正如網(wǎng)球之于乒乓球有其獨(dú)特之處，分式與分?jǐn)?shù)雖數(shù)式通性，但分式由于其式的特性，常常用于建模，構(gòu)成刻畫現(xiàn)實(shí)世界的模型——方程，此處學(xué)生便需要借助整式方程的內(nèi)容加以類比。

2.運(yùn)用本質(zhì)思維歸納式設(shè)計(jì)

在紛繁的學(xué)習(xí)內(nèi)容中析出研究對(duì)象的本質(zhì)是重要的數(shù)學(xué)能力，運(yùn)用本質(zhì)思維可以使簡單的學(xué)習(xí)內(nèi)容變得深刻起來。深刻意味著起始課的教學(xué)不僅僅是讀懂了教材內(nèi)容、掌握了內(nèi)容結(jié)構(gòu)，更重要的是將內(nèi)容看穿、看透、一針見血、入木三分，抓住事物的本質(zhì)以達(dá)到綱舉目張的教育效果。那么，如何析出研究對(duì)象的本質(zhì)？首先，將研究對(duì)象分類，即將研究對(duì)象納入一定的系統(tǒng)和級(jí)別，形成有內(nèi)在層級(jí)關(guān)系的“子類”系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，從而進(jìn)一步明確了數(shù)學(xué)對(duì)象所含事物之間的邏輯關(guān)系。其次，從特例出發(fā)，預(yù)見并獲取研究對(duì)象的本質(zhì)，并在“子類”系統(tǒng)中圍繞本質(zhì)研究內(nèi)容。最后，從特殊到一般歸納獲得整章的研究思路和內(nèi)容（見圖3）。

例如，一元二次方程解法的起始課。蘇科版教材的解法教學(xué)介紹了直接開方法、配方法、公式法和因式分解法，從4種解法的內(nèi)在一致性看，直接開方法和配方法同根同源，目標(biāo)是將一元二次方程化為（2ax+b）2=b2-4ac的形式，求根公式則是開方后整理所得。統(tǒng)領(lǐng)這些方法的本質(zhì)是什么？事實(shí)上，須運(yùn)用平方差公式將x2=a（a≥0）變形為（x+）=0，（2ax+b）2=b2-4ac（b2-4ac≥0）變形為[（2ax+b）+]=0。也就是通過因式分解化一元二次方程為一元一次方程，即降次。這與因式分解法的解法本質(zhì)邏輯連貫、前后一致，學(xué)生容易從整體上把握4種解法之間的內(nèi)在聯(lián)系。直接開方或配方都只是操作層面的技巧，目的是為了化二次為一次，“降次”才是解決問題的根本，也會(huì)為今后學(xué)習(xí)高次方程求解奠定基礎(chǔ)。

在解一元二次方程之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了一元一次方程的解法。若考慮到二次式是由兩個(gè)一次因式相乘所得，可以讓學(xué)生構(gòu)造形如（x+a）（x+b）=0的一元二次方程，這個(gè)方程的“式結(jié)構(gòu)”表述的信息就是“若兩個(gè)因式的乘積為零，則至少有一個(gè)因式為零”的結(jié)論[1]。從而將一元二次方程（x+a）（x+b）=0轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程x+a=0，x+b=0來解，即達(dá)到降次的目的，并將這一本質(zhì)作為解一元二次方程的思想基礎(chǔ)。接下來，分別求解：（1）對(duì)于缺少常數(shù)項(xiàng)的一元二次方程x2+px=0，可以利用提公因式法，將方程轉(zhuǎn)化為“兩個(gè)一次因式積為零”的形式，從而求解。（2）對(duì)于缺少一次項(xiàng)的一元二次方程x2+q=0，可以利用平方差公式，將方程轉(zhuǎn)化為“兩個(gè)一次因式積為零”的形式，從而求解。（3）對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程x2+px+q=0，如果x2+px+q恰好是完全平方式，則可以利用完全平方公式，將方程轉(zhuǎn)化為“兩個(gè)一次因式積為零”的形式，從而求出方程的解;如果x2+px+q不是完全平方式，則可先通過配方法，再利用平方差公式，將方程變形為“兩個(gè)一次因式積為零”的形式，從而求出方程的解。（4）對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程ax2+bx+c=0，可先將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，再通過配方法及平方差公式，將方程變形為“兩個(gè)一次因式乘積為零”的形式，進(jìn)而得到一元二次方程的求根公式（見圖4）。

3.運(yùn)用整體思維分解組合式設(shè)計(jì)

整體思維又稱系統(tǒng)思維，即整體是由各個(gè)局部按照一定的秩序組織起來的，要求以整體和全面的視角把握研究對(duì)象。在觀察、分析和處理研究對(duì)象時(shí)，應(yīng)注重研究對(duì)象本身固有的完整性、統(tǒng)一性和關(guān)聯(lián)性，以普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)看待數(shù)學(xué)問題。那么，如何利用整體思維建構(gòu)起始課呢？面對(duì)一些較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，不能一下子以整體的形式解決，首先需要對(duì)主題進(jìn)行任務(wù)分解，將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)個(gè)“子任務(wù)”加以研究，其次圍繞若干“子任務(wù)”設(shè)置相應(yīng)的問題，之后通過對(duì)問題的解答完成相應(yīng)任務(wù)，最后將所有“子任務(wù)”重新組合、整體關(guān)聯(lián)，達(dá)成總?cè)蝿?wù)，從而實(shí)現(xiàn)起始課的教學(xué)（見圖5）。

例如，冪的運(yùn)算起始課。根據(jù)數(shù)的運(yùn)算的研究經(jīng)驗(yàn)，可以知道冪的運(yùn)算也應(yīng)該存在“加、減、乘、除、乘方”運(yùn)算，而蘇科版教材“冪的運(yùn)算”一章只介紹了同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方和積的乘方以及同底數(shù)冪的除法。從整體上看，其缺少了冪的加法和冪的減法運(yùn)算的研究，另外，冪的乘法和冪的除法運(yùn)算中缺少對(duì)同底數(shù)冪乘法和除法學(xué)習(xí)必要性的闡釋，讓人感覺學(xué)習(xí)的發(fā)生非常的突兀。

基于整體思維的考量，起始課可以將冪的運(yùn)算分解為冪的加法、冪的減法、冪的乘法、冪的除法和冪的乘方五種運(yùn)算，通過“觀察—思考—猜想—驗(yàn)證—證明”的思路逐一研究。（1）冪的加法的研究，初步感受“觀察—思考—猜想—驗(yàn)證—證明”的研究思路。通過對(duì)式子am+bn運(yùn)算結(jié)果的討論，明確底數(shù)、指數(shù)不同的兩個(gè)冪相加，只能先算冪，再求和。進(jìn)而通過控制變量法研究式子am+an、am+bm及am+am運(yùn)算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)當(dāng)冪的指數(shù)與底數(shù)均相同時(shí)，可以使用合并同類型法則加以計(jì)算。（2）冪的減法的研究。利用冪的加法的研究經(jīng)驗(yàn)，可以將減法運(yùn)算分為四種情況：am-bn、am-an、am-bm及am-am，前面三種只能先算冪再求差，而當(dāng)冪的指數(shù)與底數(shù)均相同時(shí)可以利用合并同類型法則加以計(jì)算。（3）冪的乘法和乘方的研究，熟練掌握“觀察——思考——猜想——驗(yàn)證——證明”的研究思路。利用冪的加法、減法的研究經(jīng)驗(yàn)，可以將冪的乘法運(yùn)算分為四種類型：am·bn、am·an、am·bm及am·am，其中am·bn只能先算冪，再求積。而式子am·an可以根據(jù)乘方的意義加以計(jì)算，得出“同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加”的結(jié)論。式子am·bm是指數(shù)相同，底數(shù)不同，根據(jù)乘方的意義可以得到：am·bm=（ab）m，反過來得到（ab）m=am·bm。接著研究式子am·am，其底數(shù)相同，指數(shù)相同，通過乘方的意義和同底數(shù)冪的乘法法則都可得到am·am=（am）2=a2m，推廣得到（am）n=amn，即獲得了冪的乘方運(yùn)算法則。（4）冪的除法的研究，自覺運(yùn)用“觀察—思考—猜想—驗(yàn)證—證明”的研究思路。冪的除法也能分成四種類型：am÷bn、am÷an、am÷bm及am÷am，學(xué)生有了前面一系列的研究經(jīng)驗(yàn)，能夠自主得出am÷bn只能先算冪，再求商。根據(jù)乘方的意義得出：am÷an=am-n，am÷bm=（）m，進(jìn)而研究am÷am的情形。綜合前面的研究，將“子任務(wù)”進(jìn)行組合、刪選，確定本章研究的重點(diǎn)是特定條件下的冪的運(yùn)算及其相關(guān)法則，如同底數(shù)冪的乘法、除法以及冪的乘方等內(nèi)容，從而整體把握“冪的運(yùn)算”整章內(nèi)容。

4.運(yùn)用常規(guī)思維演繹式設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)教學(xué)須“示以思維之道”，從而讓學(xué)生學(xué)會(huì)思維，這就要求教學(xué)應(yīng)示以學(xué)生普適性的研究方法，站在數(shù)學(xué)系統(tǒng)的角度有序思考，形成基本的研究套路，這既是數(shù)學(xué)學(xué)科本身的要求，也是學(xué)生思維發(fā)展的需要。那么，如何采取常規(guī)性的研究方法向?qū)W生示以思維之道呢？幾何教材的呈現(xiàn)方式總是表現(xiàn)出一定的邏輯順序，循著“定義—性質(zhì)—特例—聯(lián)系”的研究路徑展開[2]，在研究平面幾何問題時(shí)，應(yīng)將邏輯性思考的過程建立成體系，并將此思維過程可視化，形成研究幾何對(duì)象的普適性方法，用演繹的方式構(gòu)建學(xué)習(xí)這一類型知識(shí)的體系（見圖7）。

例如，三角形的章節(jié)起始課。借助前面“角”的研究，學(xué)生可以建立研究“三角形”的先行組織者，即按照“定義—性質(zhì)—特例—聯(lián)系”的研究路徑展開，并且清楚幾何圖形的組成要素是點(diǎn)、線和角等，而組成要素之間的關(guān)系往往從元素間的位置關(guān)系入手[3]。在此基礎(chǔ)上，循著幾何研究的普適性方法，第一，經(jīng)歷定義三角形的完整過程。（1）定義。抽象出構(gòu)成三角形的基本元素為線段，元素間的位置關(guān)系是三條線段“不在同一直線”及“首位順次相接”，從而獲得三角形的定義。（2）表示。為了方便表示及更好地表達(dá)三角形的本質(zhì)，結(jié)合文字語言、圖形語言，強(qiáng)調(diào)符號(hào)語言的使用。（3）分類。為了對(duì)三角形進(jìn)行分門別類的研究，既可以按邊的相等關(guān)系分類，也可以按內(nèi)角的大小分類。第二，“得知圖形有邊有角，自然而然的就會(huì)想到，它們之間有沒有什么關(guān)系，這就是性質(zhì)研究。”性質(zhì)的研究應(yīng)當(dāng)“回到定義”，從定義上看，三角形的三邊的位置關(guān)系為首尾相接，顯然不是任意三條線段都能首尾相接，因此有必要研究邊之間的大小關(guān)系，即三角形的兩邊之和大于第三邊。第三，學(xué)生可以展望三角形其他的性質(zhì)，即三角形的角之間的關(guān)系、邊角之間的關(guān)系，以及三角形的相關(guān)元素（外角、角平分線、中線和高線等）之間的關(guān)系，從而明白三角形的性質(zhì)、概念是第一層次，要素的關(guān)系是第二層次，要素與相關(guān)要素的關(guān)系是第三層次。有了這些研究經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步展望三角形特例（要素或要素關(guān)系的特殊化）以及聯(lián)系，并且讓學(xué)生知道它們也可以按照類似的邏輯演繹。

單元起始課教學(xué)是單元教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，在其設(shè)計(jì)時(shí)，整體性的教學(xué)設(shè)計(jì)必須引領(lǐng)教學(xué)持續(xù)深入地推進(jìn)，多樣性的教學(xué)設(shè)計(jì)必須符合適切性的設(shè)計(jì)原則，也就是說單元起始課教學(xué)應(yīng)根據(jù)實(shí)際的教學(xué)內(nèi)容選擇最合適的設(shè)計(jì)方法，邏輯連貫、持續(xù)深入地推進(jìn)單元整體教學(xué)。單元起始課教學(xué)設(shè)計(jì)是基于單元的“學(xué)材再建構(gòu)”，其不應(yīng)停留在教學(xué)法的層面，更重要的是進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的創(chuàng)新處理，如運(yùn)用結(jié)構(gòu)思維類比式設(shè)計(jì)、運(yùn)用本質(zhì)思維歸納式設(shè)計(jì)、運(yùn)用整體思維分解組合式設(shè)計(jì)和運(yùn)用普適思維演繹式設(shè)計(jì)等，關(guān)注從數(shù)學(xué)教育到教育數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化，真正實(shí)現(xiàn)學(xué)科育人。從這個(gè)意義上來講，教師須要理解學(xué)科知識(shí)，尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，樹立育人意識(shí)，開拓?cái)?shù)學(xué)單元起始課教學(xué)的更大研究空間。

參考文獻(xiàn)

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【責(zé)任編輯? 郭振玲】