一道有問題的“初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽”試題

廣東省東莞市東華初級中學(xué)(523330) 汪浩洋

2015 年“全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽”第二試第3 題是關(guān)于整數(shù)根的問題,仔細(xì)研究,這道題有問題——條件相互矛盾,結(jié)論也不成立.

原題：設(shè)正整數(shù)m,n滿足：關(guān)于x的方程(x+m)(x+n) =x+m+n至少有一個正整數(shù)解,證明：2(m2+n2)＜5mn

現(xiàn)在用兩種方法證明——條件相互矛盾,結(jié)論不成立：

證明1 設(shè)a為方程的一個正整數(shù)解, 帶入原方程得：(a+m)(a+n)=a+m+n,整理得：

(a+n-1)m=a+n-na-a2=-a(a+n-1)+n,顯然a+n-1?=0,所以：

∴a≤1,又因為a為正整數(shù),

∴a=1,

將a=1 帶入原方程得：1+m+n+mn=1+m+n,化簡得mn=0.再將a=1 帶入1○式,可以進(jìn)一步求出m=0.這樣,必定有2(m2+n2)＞0,而5mn=0.也就是說需證結(jié)論2(m2+n2)＜5mn,不成立.(證畢)

也就是說,如果滿足方程至少有一個正整數(shù)解,則參數(shù)m,n就不全是正整數(shù),題設(shè)條件相互矛盾,結(jié)論當(dāng)然也就不成立了.

證明2 整理原方程得：

設(shè)方程的兩個根為x1,x2, 根據(jù)韋達(dá)定理：x1+x2=-(m+n-1)＜0, 說明方程根為一正一負(fù), 則：x1·x2=mn-m-n ＜0,即mn-m ＜n,即

綜合(1)(2)可知：題設(shè)條件相互矛盾,結(jié)論也不成立.(證畢)

下面來分析原證明的問題所在：

證明整理原方程得：

方程1○的判別式：

Δ=(m+n-1)2-4(mn-m-n)

=(m+n)2-4mn+2(m+n)+1

=(m-n)2+2(m+n)+1

不妨設(shè)m≥n,由題設(shè)可知,整系數(shù)方程1○至少有一個正整數(shù)解,所以Δ 應(yīng)為完全平方數(shù),注意到：

Δ=(m-n)2+2(m+n)+1=(m-n+1)2+4n＞(m-n+1)2

Δ=(m-n)2+2(m+n)+1=(m-n+3)2-(4m-8n+8)

“原證明”沒有證明在m≤2n-2 時,且滿足m,n都是正整數(shù)的條件下,Δ 是完全平方數(shù)——這是保證至少有一個整數(shù)解的前提.因為沒有走這一步,所以沒有發(fā)現(xiàn)題目的問題.