分式方程的解法探究

上海市第五十二中學(200083) 劉坭

分式方程是初中階段數學學習的一個重要的內容,教材中解分式方程的基本方法是把分式方程轉化為整式方程,進而求解分式方程.這種方法有可能會產生增根,所以必須進行驗根.本文利用分式方程的定義域和同解方程原理,可以規避一類特殊的分式方程增根的產生.

在解分式方程(組)中,必須對分式方程(組)進行數學變形,轉化為一元一次方程(組),進而求得方程(組)的解集.在變形的過程中,有可能會改變方程(組)的定義域,使得求得的解集M′與原分式方程的解集M并不相同,當M′ ?M時,M′中的某些解不是原分式方程的解稱為原方程的增根,反之稱為失根.在分式方程(組)的變形中,定義域范圍的擴大,所以必須對分式方程的根進行檢驗.

下面通過具體的實例加以分析.

1 可以化為一元一次方程的分式方程

在求解可以化為一元一次方程的分式方程中,現行的初中教材都采用去分母,將分式方程轉化為整式方程,最后通過驗根確定分式方程的根.

法一：解方程兩邊同乘以(x -3), 得x2-9 = 0, 即x=±3, 經檢驗x= 3 是方程的增根, 所以原方程的根為x=-3.

分式方程本身的定義域和同解分式方程原理,可以有效簡化分式方程的求解過程,規避增根的產生,不必進行驗根.

法二：解∵分式方程的定義域為x ?=3

∴分子分母同時除以(x-3),得x+3 = 0,即x=-3,所以原方程的根為x=-3.

通過求解兩例一般形式的分式方程的根,探討同解變形的妙處

法一：解方程兩邊同乘以(x-1),得x+x-1 = 1,即x=1,經檢……