分析中考試題,體會核心素養—-2019 年河北省數學中考幾何壓軸題第25 題的分析

河北省興隆縣教師發展中心(067300) 姜秀芹

2019 年中考已經落下帷幕,河北省數學中考試題依然以幾何和代數兩道大題壓軸,下面我們共同研究一下第25 題幾何題的思路.

題目25.(本小題滿分10 分)

(1) 如圖14-1,x為何值時,圓心O落在AP上? 若此時⊙O交AD于點E,直接指出PE與BC的位置關系;

(2) 當x= 4 時, 如圖14-2,⊙O與AC交于點Q, 求∠CAP的度數,并通過計算比較弦AP與劣弧■PQ長度的大小;

(3) 當⊙O與線段AD只有一個公共點時,直接寫出x的取值范圍.

接下來我們來解決問題(1) 如圖14-1,x為何值時,圓心O落在AP上?若此時⊙O交AD于點E,直接指出PE與BC的位置關系;

當圓心O落在AP上, 給我們一個突破口, 是一個特例,接下來圓心O可能會在AP的上方,也可能在AP的下方; 這個特例中,AP即為圓O的直徑,根據CP與圓相切,我們很容易得到∠APC= 90°,ΔCBP也就是那個比值為3 : 4 : 5 的直角三角形.即BP= 9,CP= 12,BC= 15.所以x= 9;AP為直徑,此時∠AEP= 90°,根據BC//AD,即可得到PE ⊥BC的關系.

在這個問題中,用到了圓中相切得直角、直徑對應的圓周角是直角的知識,用到了三角函數求線段長,同時,也用到了平行線的性質.

此問題的解決為下面的問題埋下伏筆,給與暗示.

在解決這一問題中,我們用到了圓周角和圓心角的關系,垂徑定理,相似和等腰三角形的知識.

我們再看問題(3) 當⊙O與線段AD只有一個公共點時,直接寫出x的取值范圍.

當ΔPKC與線段AD只有一個公共點,我們首先想到的是圓O與AD相切于點A如圖14-3-1,由CP與圓相切,易得∠1=∠2,得∠CBP=∠CPB,所以ΔCBP為等腰三角形,CK ⊥BP,BK= 9, 所以BP= 18; 然后我們想到讓圓O與直線AD相交但是另一個交點在DA的延長線上,如圖14-3-2,此時∠DAP= ∠CBP ＞∠CPB,CP ＞CB,而CK=12,故PK大于BK,即x≥18.

縱觀此……