從“將軍飲馬”問題談起*

廣東省惠州市河南岸中學(516007) 賴志萍

廣東省惠州學院數(shù)學與大數(shù)據(jù)學院(516007) 王海青

1 問題的提出

“最短路徑”問題屬于最優(yōu)化問題, 對于此類問題的探討具有非常大的現(xiàn)實意義和應用價值.人教版八年級上冊教材[1]在第十三章“軸對稱”專門設立了有關最短路徑問題的課題學習(P85-87).其目的就是結合“兩點間線段最短”“直線外一點與直線上各點連線中,垂線段最短”等結論,運用軸對稱的性質(zhì)綜合解決相應的生活實際問題,以求得最優(yōu)解使解決方案最優(yōu)化.

為了便于后面的論述,現(xiàn)將“軸對稱”一章有關最短路徑課題學習的問題摘抄如下.

問題1 如圖1,牧馬人從A地出發(fā),趕著馬群到一條筆直的河邊l飲水,然后再到B地,問怎樣選擇飲水的地點,才能使馬群所走的路徑最短?

問題2 如圖2,A和B兩地在一條河的兩岸, 現(xiàn)要在河上造一座橋MN, 橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短?(假設河兩岸平行,橋MN與河岸垂直)

圖1

圖2

問題1 也就是常說的“將軍飲馬”問題, 問題2 也即為“造橋選址”問題,它們都具有重要的生活實際背景和價值.

2 問題1 的解決與變式引申

分析對于問題1,教師首先需引導學生將生活實際場景轉化為數(shù)學圖形,從生活世界過渡到數(shù)學世界,培養(yǎng)學生數(shù)學建模的能力和用數(shù)學的思維解決實際問題的意識. 提取關鍵信息容易將圖1 轉化為圖3.兩點間線段最短, 若點A,B在直線l的兩側,則直接連接點A,點B與直線l的交點即為所求.點A,B在直線l的同側, 可考慮移動點A到直……