化歸思想方法在高中數學解題中的應用

劉曉潔

【摘要】化歸與轉化既是重要的數學思想，又是快捷有效的數學解題方法。要運用好化歸思想方法，需要理解其思想的精髓，掌握其運用的原則，加強解題訓練，多種化歸方法綜合運用，才能提高數學解題效率。本文對化歸思想方法在高中數學解題中的應用策略進行了探討。化歸就是轉化與歸結，化歸思想方法就是要把抽象復雜的問題轉化歸結為簡單易解的問題，從而提高解決問題的效率。化歸思想方法是高中數學解題應用最多、最廣泛的思想與方法，它對提高數學解題質量與效率有重要幫助。因此，教師要加強化歸思想方法在數學教學中的滲透，以更好地促進學生數學解題能力的提升。

【關鍵詞】劃歸思想方法;數學解題;應用

一、掌握化歸思想方法運用原則

由于數學化歸的途徑千變萬化，沒有固定的模式與方法可遵循，因而要運用好化歸思想方法必須堅持如下原則：一是堅持簡單化的原則。化歸的目的在于使問題簡單化，因而在運用化歸思想時，首先要能使問題簡單化，要把復雜問題的條件、解決方法、所求結論等盡可能簡單化。二是堅持具體化的原則。在進行復雜抽象的問題轉化時，要注重使問題具體化，避免抽象化，盡可能使用形象直觀的語言、圖形來表示復雜難理解的文字或數量關系。三是堅持標準化的原則。就是在使用化歸思想方法時，應注重運用標準化的數學公式、定理、法則等，也要注重將復雜抽象的問題轉化成標準的數學形式，有利于提高解題的規范性。四是堅持低層次化原則。就是在解決復雜問題時，應注重把高層次問題向低層次轉化。如，把高維空間問題向低維空間轉化，多元問題向單元問題轉化等，這樣才有利于問題的簡單解決。

二、多種方式運用化歸思想方法解題

（一）復雜問題向一般問題轉化

在高中數學解題中，對于一些復雜、不易找到解題思路的問題，可運用化歸的思想方法把復雜抽象的問題轉化為一般的或簡單的問題，就能快速找到解決問題的方法與思路，從而提高數學解題的效率。

例1：在數列{an}中，已知a1=2，a2=3，并存在如下關系式，求此數列的通項公式an的表達式。

分析：通過對題目已知條件的分析可知，本題的遞推公式是二次線性遞推關系，直接求解該數列的通項公式比較困難，如果能將其轉化成一般的基本數列問題來進行求解，就可使求解過程變得簡單容易。為此可運用待定參數的方法來求解，可在下式：an+1-man=n（an-man-1）中引入m、n兩個參數，這樣就可使本題轉化成了求公比q=n的等比數列{an-man-1）通項公式的問題。通過求解m、n這兩個待定參數，就可以求出該等比數列的通項公式，從而也就能容易求出數列{an}的通項公式。

與題目給出的已知條件相結合，就能得出，求解可得出m=1，或，

數列是以為首項，q=的等比數列，

數列是以為首項，q=l的等比數列，或，可求出適合此式

可求出數列的通項公式是，可見通過轉化使求解思路明確，方法變得簡單。

（二）代數問題向數形結合轉化

在高中數學解題中，如果能利用數形結合的方法進行解題，就能借助于“形”的直觀性使問題變得簡單直觀，容易找到解決問題的思路和方法，同時利用“數”的嚴謹性就能使問題求解更加精確，從而有利于提高解決問題的質量與效率。因此在運用化歸思想方法進行數學解題時，要注重把代數或幾何問題向數形結合的方向轉化，這樣能降低解題難度。

例2：已知函數f（x）=ax3-bx+4，在x=2時函數有極值，其值為。

（1）求函數f（x）的解析表達式;

（2）當f（x）=k時，關于x的方程有3個零點，求實數k的取值范圍是多大？

分析：對于本題直接運用代數的方法進行求解，將會使解題過程變得比較困難，如果把問題求解向代數與圖形相結合的方法進行轉化，就能使解題過程變得簡單、直觀。

在（1）中可運用如下方法求解：求函數的導數f'（x）=3ax2-6，根據題意得出可求出，這樣就可以容易得出函數解析表達式為f（x）=1/3X3-4x+4。

在（2）中可得出廠f（x）=x2-4=（x-2）（x+2），當f（x）=0時可得x=2或x=-2，

列出x變化時f（x）f'（x）的變化情況的表格：

結合右圖的函數曲線，就可看出當有極大值，當有極小值，這樣借助于圖形，就容易求出實數k的取值范圍是

（三）陌生方法向熟悉方法轉化

在數學解題中，對于同一道題目可以運用多種方法進行解決，既可以運用一般的方法解題，也可以運用特殊的方法解題，可以采用把問題組合或分解的方法，也可以采用向同一個方向轉化等方法，可根據自己熟悉的方法進行轉化，只要在解題中選用自己熟悉的方法，就能快速有效解題。例3：在AABC中，求證：

分析：在本題解題中可利用正弦定理，把等式中“邊”的問題轉化成“角”的問題;也可以利用余弦定理把等式中“角”的問題轉化成“邊”的問題，學生只要根據自己熟悉的方法，把問題轉化就可有效解題。

如利用正弦定理可按如下方法求解：

等式左邊=2RsinA（cosB+cosC）

等式右邊

等式兩邊相等，可見在此題求解中通過運用熟悉的正弦定理，并且把等式兩邊分別化簡都等于同一個中間值，使證明得到容易解決。

三、結語

化歸與轉化是高中數學最重要的解題思想方法，因此教師應在教學中注重對該思想方法的教學，讓學生熟練掌握其運用原則與轉化策略，可根據需要使用直接轉化法、換元法、數形結合法、構造法、參數法、類比法、特殊轉化法、等價轉化法等多種方法進行轉化，加強數學解題中的多種轉化方法訓練，提高數學解題效率，從而有效提升學生的學習成績。

參考文獻：

[1]陳敏.化歸思想在高中數學解題中的應用[J].中學數學，2020（1）.

（責任編輯 范娛艷）