一道小題壓軸題的拓展研究

廣東省中山紀念中學(528454) 馬紅芳 李勇剛

題目若凸四邊形ABCD的四邊長分別為2 cm,3 cm,4 cm,5 cm,則其面積的最大值是( ).

上述題目是筆者所在校的一次測試用題,正確的答案是B,是經較為復雜的計算得來的.但是一個學生告訴我,他很快就得出這道題的答案.筆者很好奇,于是就問這位同學如何秒殺這道題.學生說:“直接就是四邊長相乘后開根號,答案正好選B.”筆者問他有何依據嗎? 他很誠懇的跟我說,沒有明確的依據,就是直覺,他說:“面積是二次的,四條邊的相乘然后開方剛好也是二次,而且這個方法對于矩形也成立.”他的話引起筆者的思考,他的這個方法對于這個題目是巧合還是合理呢? 若是合理的,這種方法對于一般的凸四邊形適用嗎? 于是筆者決定和學生一起探索這個問題所對應的一般問題.

問題的一般化若凸四邊形ABCD的四邊長分別為AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,求其面積的最大值.

解析設∠A=θ,∠C=φ,在?ABD中,由余弦定理,BD2=a2+d2?2adcosθ; 在?BCD中,由余弦定理,BD2=c2+b2?2bccosφ; 故有a2+d2?2adcosθ=c2+b2?2bccosφ,從而

四邊形ABCD的面積即

①2+②2得

化簡整理得

故當cos(θ+φ)=?1 即θ+φ=π時,S的值最大,也就是當A,B,C,D四點共圓時,四邊形ABCD的面積最大,記最大面積為Smax,則

由此我們可以得到如下結論:

結論若凸四邊形的四邊長分別為a,b,c,d,當凸四邊形的四個頂點共圓時,四邊形的面積最大,最大面積為其中p為四邊形周長的一半.

若四邊形ABCD的四邊長a,b,c,d按從小到大排列成等差數列時,不妨設a≤b≤c≤d,則有a+d=從而有于是可以得到如下推論:

推論1若四邊形的四邊長a,b,c,d按從小到大排列成等差數列,則四邊形的四個頂……