再談導數中的雙變量問題

湖南省懷化市鐵路第一中學(418000) 高 用

在近幾年各地高考及模擬試題中,導函數壓軸題頻繁出現雙變量的問題,此類題型因含有兩個變量,思維量大,解題方法靈活,對學生的數學抽象、數學運算等核心素養提出了很高要求.為此,本文通過具體例題的求解談談求解導數中雙變量問題的解題思想和幾種有效方法,希望能對廣大教師同行的教學有益.

1.等量消元,去二為一

二元變量問題難的主要原因就在于所含兩個變量同時變化難以控制,所以將雙變量轉化為單變量勢在必行.消元,通常是利用變量所滿足的等量關系進行代換,消去其中一個變量,留下唯一變量,即去二為一,使之成為一元變量問題求解.

例1(2018年高考全國Ⅰ卷理科第21 題)已知函數

(1)討論函數f(x)的單調性;

(2)若函數f(x)存在兩個極值點x1,x2,證明:

分析x1,x2為函數f(x)的極值點,即x1,x2是方程f′(x)= 0 的根,則方程的根與系數滿足等量關系,于是可以試著通過這一條件尋找x1與x2的等量關系,進而利用此等量消元,即而轉化為一元變量問題求解.

解析(1)f(x)的定義域為

(i)若a≤2,則f′(x)≤0,所以f(x)在(0,+∞)單調遞減.

(ii)若a >2,令f′(x)<0 得,或所以f(x)在單調遞減,在單調遞增.

(2)由(1)知,當且僅當a>2 時,f(x)存在兩個極值點.

由于f(x)的兩個極值點x1,x2滿足x2?ax+1 = 0,所以x1+x2=a,x1x2= 1,不妨設x1< x2,則x2>1.即

評注一般題目明確給出或者隱含關于兩個變量的等量關系,則可以通過這個等量關系,實現兩變量的相互代換,是能夠消元處理這種問題的明顯信號,而像例1 一樣給出根與系數的關系的題目是利用消元求解的常見題型.

2.整體換元,合二為一

如果兩……