活躍在競賽中的構造局部不等式法

安徽省蕪湖市無為縣第三中學城北校區(238300) 朱小扣

筆者發現構造局部不等式在證明競賽題與數學通訊等期刊的征解題中有著重要的作用,本文將從四個角度去構造局部不等式,以期拋磚引玉.

一．利用切線法構造局部不等式

例1(2015年安徽省初賽第9 題)設正實數a,b滿足a+b=1.求證:

證明易知處的切線方程是y=2?x,故只需證

①+②即證.

用切線法可以解決很多題目,如數學通訊問題332:

例2(數學通訊問題332)已知正數x,y,z滿足xy+yz+zx≤3,求證:

證明先證:

注意到

故①成立.同理:

①+②+②得:

令a=xy,b=yz,c=zx,則問題轉化為在:a+b+c≤3的條件下,求證:

由切線法得只需證:

由于4 ≥(1+a)(3?a)?(a ?1)2≥0,故④成立.同理:

④+⑤+⑥得:

故原命題得證.

二．利用割線法構造局部不等式

例3已知a,b,c ∈R+,a+b+c=1,求證:

證明可知在(0,1),兩點的割線方程是故只需證在(0,1)上恒成立即可.由于

當0< x <1 時恒成立,于是,即證.

上述例題用割線法可以很快解決,又如數學通訊問題399:

例4(數學通訊399 問題)已知?ABC,記BC=a,CA=b,AB=c,求證:

證明由于不等式是齊次的,可設a+b+c=1,因為三角形任意兩邊大于第三邊,故a,b,.原命題等價于:當a,b,時,求證:

令

故上述不等式成立.于是,

三式相加得:

即

故原不等式得證.

三．利用均值不等式構造局部不等式

例5已知正數x,y,z滿足x+y+z= 1,求證

證明由得:

同理可得:

故只需證明:

事實上,

故原不等式得證.

例6(數學通訊398 問題)已知正數a,b,c滿足a+b+c≤12,求證:abc≤2a+5b+10c.

證明記S=2a+5b+10c,以下證明:

當且僅當a=5,b=4,c=3 時取等號即證

本題證明是筆者采用文[2]中類似的構造方法寫出來的,令人疑惑的是為什么這樣構造局部不等式,原因如下:

先猜想當a=5,b=4,c=3 時取等號,于是配湊:

此法還可以解決很多類似的題目.

四……

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