調(diào)和點(diǎn)列及調(diào)和線束性質(zhì)的證明與應(yīng)用舉例

首都師范大學(xué)附屬回龍觀育新學(xué)校(102208) 李路軍 李洪景

常在資料上看到一些證明不完整的有關(guān)調(diào)和點(diǎn)列和調(diào)和線束性質(zhì)的敘述,作為教師只有理清其本質(zhì),使用起來(lái)才能心明眼亮.本文給出的例子,讓我們更清楚的洞穿題目的意圖及本質(zhì),為我們的教學(xué)提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).本文著重對(duì)橢圓中的調(diào)和點(diǎn)列及調(diào)和線束問(wèn)題予以討論,實(shí)際上所提及的性質(zhì)在二次曲線系中都是成立的,可類比得出.

調(diào)和點(diǎn)列的定義若同一直線上四點(diǎn)G,A,H,B滿足GA×HB=GB×AH,即,則稱A,B調(diào)和分割線段GH或G,H調(diào)和分割線段AB,A,B,G,H為調(diào)和點(diǎn)列(G,H與A,B稱為調(diào)和共軛).

一、完全四邊形中的調(diào)和點(diǎn)列

1.完全四邊形.兩兩相交又沒(méi)有三線共點(diǎn)的四條直線段及它們的六點(diǎn)所構(gòu)成的圖形稱作完全四邊形,如圖1,ABMCKD是一個(gè)完全四邊形.

2.完全四邊形中的調(diào)和點(diǎn)列.

圖1

圖2

作為準(zhǔn)備,我們考慮如下張角定理:

張角定理[1](本質(zhì)是正弦定理的面積形式).如圖2,三角形ABC中,D為BC上一點(diǎn),連接AD,設(shè)∠CAD=α,∠BAD=β,則

證明因?yàn)镾?ABC=S?ABD+S?ADC,所以兩邊同時(shí)除以AB·AC·AD,整理得:

完全四邊形中的調(diào)和點(diǎn)列[2]如圖3.1,完全四邊形ABMCKD中,設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為G,連接MG交AD于H,則A,D,H,K為調(diào)和點(diǎn)列.

證明設(shè) ∠MAC=α,∠KAC=β,在?AMH,?ABD,?AMD,?ABK中,分別有:

因?yàn)閟in0,所以;所以

即AH ×DK=AK×DH,則A,D,H,K為調(diào)和點(diǎn)列.

根據(jù)線段間的數(shù)量關(guān)系,調(diào)和點(diǎn)列有不同的等價(jià)形式:

都可以說(shuō)明點(diǎn)A,D,H,K為調(diào)和點(diǎn)列.

圖3.1

圖3.2

如圖3.2 連接KG交AM于L,則點(diǎn)A,B,L,M也為調(diào)和點(diǎn)列,這也正是本文要講的調(diào)和線束性質(zhì)2.圖3.2 中有7 線9 點(diǎn),存在四個(gè)完全四邊形,這個(gè)圖形也成為完全四點(diǎn)形[3].

二、圓錐曲線中的調(diào)和點(diǎn)列

圓、橢……