一道幾何賽題的探究與推廣

廣東省深圳中學(518001) 邱際春

1 問題提出

著名數學家華羅庚先生在《1978年全國中學生數學競賽題解》一書的前言中提到了下面一道具有豐富內涵的幾何題:

題目[1]若凸四邊形ABCD的兩邊AD,BC延長后交于點K,兩邊AB,CD延長后交于點L,對角線BD,AC延長后分別與直線KL交于點F,G.求證:

華羅庚先生指出這個問題包含了射影幾何的基本原理,從結論可以看出,給定K,F,L三點時,可以僅用直尺作圖便可找出點G,使得F“內分”KL的比例,等于G“外分”KL的比例.張景中院士在《幾何新方法和新體系》[1]與《從數學教育到教育數學》[2]中均摘錄了這一問題,并對此作了深入地分析,提出了以共邊定理為基礎的多種解法.

筆者在“巨人”的肩膀上對這一幾何問題進行多角度探究,得到一些有意義的結論.

圖1

圖2

2 解法探究

首先,我們來看華羅庚給出的用中學生所掌握的知識可以解決的方法.

證法1如圖2,設?KFD中KF邊上的高為h,利用2S?KFD=FK · h=DF · DKsin ∠FDK,可得進而再求出與的類似表達式.于是

類似地,有

評注事實上,若讀者熟悉三角形的又一面積公式

也容易證得這一結論.

其次,考慮到題目中涉及直線的相交和同一直線上的線段比,故可用共邊定理將線段比化為面積比,把面積比化為線段比,在兩種幾何量的反復轉化中解決問題.

證法2由共邊定理可得

評注顯然,上述證法非常簡明.若考慮適當添加輔助線后亦可證得,例如在圖3中連接CF,則有

圖3

圖4

在圖4中連接AF,則有

最后,容易看出圖形中隱含“三線共點”和“三點共線”的條件,故可直接……