尋找隱直線解決非直線問題*
——基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的試題研究

廣東省興寧市第一中學(xué)(514500) 肖建平

直線是非常直觀的,借助函數(shù)圖像的切線(分界線)解題,具有非常強(qiáng)的視覺感受.切線是曲線割線的極限位置,它反映了曲線的局部的幾何性質(zhì).如果我們能夠?qū)ふ业胶瘮?shù)隱藏的直線(切線或者分界線)進(jìn)行解題,往往可以簡(jiǎn)化運(yùn)算,為解題帶來(lái)極大的方便.本文基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的視角,結(jié)合GeoGebra 軟件畫圖,來(lái)研究近年高考(模擬)題,探討尋找隱直線(切線或者分界線)解決非直線問題.

使用GeoGebra 軟件畫圖,可以直觀的看出函數(shù)圖像的彎曲方向,從而涉及到函數(shù)的凹凸性.曲線上任意兩點(diǎn)間的弧段總在這兩點(diǎn)連線的下(上)方的曲線稱為凸(凹)的,相應(yīng)的函數(shù)稱為凸(凹)函數(shù).

定義[1]設(shè)f為定義在區(qū)間I上的函數(shù),若對(duì)I上的任意兩點(diǎn)x1,x2和任意實(shí)數(shù)λ ∈(0,1)總有f(λx1+(1?λ)x2)≤λf(x1)+(1?λ)f(x2),則稱f為I上的凸函數(shù).反之,如果有f(λx1+(1?λ)x2)≥λf(x1)+(1?λ)f(x2),則稱f為I上凹函數(shù).

定理[1]設(shè)稱f為I上的可導(dǎo)函數(shù),則下述論斷互相等價(jià):

1°f為I上的凸函數(shù)；

2°f′為I上的增函數(shù)；

3°對(duì)I上的任意兩點(diǎn)x1,x2,有f(x2)≥ f(x1)+f′(x1)(x2?x1).

注1論斷3°的幾何意義是:當(dāng)x ∈I時(shí),曲線y=f(x)總是在它的任一切線的上方.

注2對(duì)于凹函數(shù)f,則f′為I上的減函數(shù),曲線y=f(x)總是在它的任一切線的下方.

注3定理的證明過(guò)程請(qǐng)查閱參考文獻(xiàn)[1].

結(jié)合凸(凹)函數(shù)的定義及定理,可以使我們對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)更加精確.

例1(2019年高考全國(guó)卷I 文科第20 題)已知函數(shù)f(x)=2 sinx ?xcosx ?x,f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).

(1)證明:f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點(diǎn);

(2)若x ∈[0,π]時(shí),f(x)≥ax,求a的取值范圍.

解(1)因?yàn)閒′(x)=cosx+xsinx?1,f′′(x)=xcosx.當(dāng)時(shí),f′′(x)>0,當(dāng)時(shí),f′′(x)<0,所以f′(x)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.又f′(0)= 0,所以f′(x)在(0,π)存在唯一零點(diǎn).

圖1

(2)由(1)知,f′(x)在(0,π)存在唯一零點(diǎn),設(shè)為x0,且當(dāng)x ∈(0,x0)時(shí),f′(x)>0,f(x)在(0,x0)單調(diào)遞增;當(dāng)x ∈(x0,π)時(shí),f′(x)<0,f(x)在(x0,π)單調(diào)遞減,又因?yàn)閒(0)= 0,f(π)= 0,所以x ∈[0,π]時(shí),f(x)min= 0,所以f(x)≥0 成立,由f(x)的圖像可知,f(x)的圖像都在直線y=0 的上方.直線y=ax是過(guò)原點(diǎn)O(0,0)的直線系,當(dāng)直線y= 0 繞原點(diǎn)O(0,0)從水平方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至與x軸垂直時(shí)滿足題意,所以a的取值范圍是(?∞,0].

評(píng)注本題是不等式恒成立問題……