數學實驗在小學數學“圖形與幾何”中的應用

薛群

【關鍵詞】數學實驗;小學數學;“圖形與幾何”;應用

“圖形與幾何”是小學數學的重要組成部分，它包括“圖形的認識”“圖形的測量”“圖形的運動”與“圖形的位置”四個方面的內容。對于“圖形與幾何”這個領域的版塊知識教學，如果僅僅通過教師的“講”、學生的“聽”是很難理解、掌握知識的內涵的。如果在“圖形與幾何”教學中引入數學實驗，不僅能讓學生理解圖形與幾何知識，而且能幫助學生積累數學經驗、發展空間觀念、空間想象力等。數學實驗是“圖形與幾何”版塊知識教學的“腳手架”，有助于學生主動探索圖形與幾何概念，幫助學生直觀感知圖形與幾何的數學本質，動態建構圖形與幾何的意義。

一、“理解型”實驗：深化“圖形與幾何”知識理解

“圖形與幾何”中的概念是相關的“圖形與幾何”的知識基礎。在“圖形與幾何”概念教學中，通常的教法就是，給概念層層下定義，讓學生理解概念的種屬關系。這種“下定義”的教學方式，能讓學生“知其然”，而不能讓學生“知其所以然”。而如果我們運用數學實驗，變學生靜態的“看”“聽”為動態的“做”，就能讓學生感悟圖形與幾何中的相關概念的本質。正如荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾所堅持認為的，“學習數學唯一正確的方法就是‘再創造，也就是由學生本人把要學的東西，自己去發現并創造出來”。

比如教學《三角形的認識》（蘇教版四下），教材的思路是“觀察物體中的三角形，認識三角形的特征，在方格紙上畫三角8形，結合三角形的特征說出三角形的概念”，遵循這樣的教學思路的教學是一種“描述性教學”。描述性教學不能讓學生深刻領悟圖形與幾何的概念本質。我在教學中，實施“發生式教學”，具體而言就是讓學生通過“做三角形”，深化對三角形概念的認知。教學中，我用“主問題”導引學生實驗。

1.什么樣的圖形叫作三角形？

2.有3個角、3條邊的圖形就是三角形嗎？

3.怎樣的圖形才能叫三角形？

三個問題層層深入，逐步指向三角形概念的本質。學生彼此之問相互對話、相互質疑，從而暴露出學生原有經驗中的認知不足。為了讓學生形成“形概念”，理解“形特征”，體驗圖形的多方面的性質（比如組合性質、穩定性質、度量性質等），教師應當站在發生學的視角上，引導學生經歷幾何概念的生成過程。只有經歷了幾何概念的生成過程，學生才能理解圖形的特征，感受、體驗到圖形的多方面性質，從而洞悉幾何知識的本質屬性。

二、“探究型”實驗：深入“圖形與幾何”知識探究

“圖形與幾何”板塊的內容，不僅包括圖形與幾何的“概念”，而且包括圖形與幾何的定理、公式等?！疤骄啃汀睂嶒灒苤茖W生深入“圖形與幾何”公式的認知。所謂“探究型”實驗，是指“學生不知道結論，借助一定的學具、實踐活動等而展開的有目的、有方向、有針對性的探索”。通過“探究型”實驗，學生能找尋到探索解決問題的思路。在“探究型”實驗中，教師要從“控權”轉為“放權”，助推學生從“操作”走向“內化”，讓學生從“現象”認識到“本質”。

比如教學《釘子板上多邊形》（蘇教版五上）時，一位教師這樣引導學生探究：多邊形的面積與什么有關？學生通過觀察，有的認為與多邊形內的釘子數有關，有的認為與多邊形外的釘子數有關，還有的認為既與圖形內的釘子數有關，又與圖形外的釘子數有關。在此基礎上，教師讓學生探究“圖形內的釘子數為0”的圖形，探究“圖形內釘子數為1”的圖形，探究“圖形內釘子數為2”的圖形，等等。這樣的教學，學生完全被教師所控制，他們沒有自主思考、探究的權力。

我在教學中充分賦予學生思考的時空：多邊形的面積與圖形內、圖形上的釘子數有怎樣的關系呢？你們準備怎樣研究？這樣經過交流，學生認為可以借用科學中的“對比實驗”的方法，即控制一個變量，研究這個變量的變化會導致怎樣的變化。于是，學生小組問展開研討，經過商議，漸漸達成共識，即先讓圖形內的釘子數為0，探究多邊形的面積與圖形上的釘子數的關系。

再固定圖形內的釘子數比如1個，研究多邊形的面積與圖形上的釘子數之問的關系，如此等等。最好探尋多邊形的面積與圖形內的釘子數以及圖形上的釘子數之間的關系。這樣的實驗計劃，是學生自主商議的結果，因而對學生更具召喚力。在這個過程中，學生主動地確定主題、制定方案、實施方案、調整方案，并且通過收集、整理、分析數據，自主探究出“皮克定理”。在圖形與幾何的探究型實驗過程中，學生一開始的探究可能比較盲目、茫然，作為教師要主動、適當、適時地介入，助推學生發現規律，建構圖形與幾何的公式。只有讓學生自主思考、探究，學生才能深刻理解幾何對象的內在屬性，從而提升學生的幾何思維水平。在這個過程中，學生自然會從圖形與幾何對象的外在的、表面的、直觀的現象，深入深層的內核、本質。

三、“驗證型”實驗：深刻“圖形與幾何”的知識猜想

在圖形與幾何定理教學中，教師要引導學生積極猜想，尤其是一些合情性的推理等。有些圖形與幾何的定理是一些超驗性的定理，學生通過經驗性操作，只能逼近這種超驗性知識，觸摸到其本質。因此，對于這一類很難通過學生探究獲得的知識，教師可以先讓學生猜想，然后組織學生驗證。通過驗證，引導學生進行“再發現”“再創造”“再建構”。

以《圓的面積》（蘇教版五下）教學為例，《圓的面積》的教學這節課常常讓教師十分糾結，究其根本，一方面是因為“圓的面積”的推導不同于其他直線圖形面積的推導，其他的圖形都可以用“剪拼法”或“倍拼法”嚴格地進行推導;另一方面，圓的面積公式的推導與圓的周長的學習經驗銜接不夠。許多教師往往以“拼成的圖形近似于長方形，而且對圓平均分的份數越多，圓就越接近長方形，最后就是一個長方形”的姑息性引導不信任，于是總是有部分學生質疑：近似于長方形不等于長方形??？”課堂教學總讓人有所唏噓。我認為，對于這一蘊含“極限思想”的圖形與幾何知識，應當采用“驗證型”的實驗，充分發揮學生直覺思維、直覺推理的作用。

教學中，教師可以引導學生進行合情猜想：圓的面積與什么有關？圓的面積與直徑、半徑之間有怎樣的關系呢？在此基礎上，教師可以將大小不同的圓放置到方格圖之中，運用數方格的方法初步探究圓的面積與半徑、直徑的比值是否是一個固定的數？圓的面積與半徑的平方也就是正方形的面積是否是一個固定的數？這一探究過程類似于圓周率實驗探究過程。在學生通過粗線條的探究對圓的面積與半徑的平方的關系形成基本認識后，教師可以再次組織學生進行實驗探究，驗證圓的面積與半徑的平方之間的關系。通過驗證，學生就能自主建構圓面積的計算公式。

“驗證型”數學實驗，是學生在對結論已經初步認識的前提下，通過實驗操作，對結論的正確性予以確證的過程。通過這一“確證”過程，能深化學生對圖形與幾何知識的本質認知?！膀炞C型”數學實驗，不僅有助于發展學生的合情推理、合情猜測等的能力，更能積累學生的數學活動經驗，提升學生的數學探究力，發展學生的數學核心素養。

著名數學家歐拉說：“數學這門學科，需要觀察也需要實驗?！弊鳛榫哂兄庇^性、探索性和創造性的“圖形與幾何”版塊內容的教學，不是通過教師的機械講解所能奏效的，而是需要學生展開探索性、驗證性的學習。作為教師，要找準“圖形與幾何”教學內容與“數學實驗”連接點，引導學生有的放矢地開展數學實驗，從而不斷地提升學生的學習能力，發展學生的數學核心素養。