數學思想方法在解題中的應用

和汝軍

摘 ?要：中小學數學思想方法的教學，體現了“由淺到深、由易到難、由少到多”等特點，從具體到抽象的質的飛躍，教師要有意識地培養學生用數學思想方法去分析問題、解決問題，并逐步形成數學能力，提高數學素養，使學生具有數學思想方法。數學思想方法和數學基礎知識相比較，數學思想方法有較高的地位和層次，數學思想方法是數學思想和方法的統稱，數學思想是指數學思維活動和數學研究活動中解決數學問題的基本想法和基本觀點。

關鍵詞：數學思想;數學方法;數學教學

現在幾乎沒有人會懷疑數學的意義和它的價值，數學是必須學習的重要基礎學科。也許對走出校門的大部分人來說，很多具體的數學計算方法和具體的數學內容可能會忘得一干二凈，但是數學思想和數學方法會對他一生的許多決策產生具大的影響，那些刻骨銘心的數學精髓將伴他終生。

一、數學思想方法的含意和內容

數學思想方法是數學思想和方法的統稱，數學思想是指數學思維活動和數學研究活動中解決數學問題的基本想法和基本觀點。小學數學教材中數學思想滲透了以下幾種：分類思想、集合思想、對應思想、函數思想、符號化思想等等;中學數學常用的數學思想有：函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化思想。數學方法是指學習和研究數學的手段和方式，包括數學理論的學習和研究的方法，發現數學的性質、運用規律的方法、數學理論運用于實際的方法。

二、數學思想方法的重要意義

思想是數學的靈魂，方法是數學的行為，無論是數學概念的建立、規律的發現，還是數學問題的解決，乃至于整個數學大廈的構建，都首先歸功于數學思想方法。因此，在數學教學過程中，數學教師要不失時機地向學生滲透數學思想方法，“授人以魚，不如授人以漁”，教師學習數學思想方法的重要意義就在于：

（1）教師學習數學思想方法，有助于了解和掌握數學科學的思想和理論方法;

（2）教師了解了數學思想方法的基本內容，可以按數學思想方法指示的方法去安排教材、有機地組織教學、就能有的放矢地調動學生思維活動的積極性，搞好數學教學活動;

（3）教師可以從整體上了解中小學所使用數學思想方法，從而深入地把握數學教學內容;

（4）教師學習并掌握了數學思想方法以后，就可以用科學的思想方法來指導實踐、認識事物、認識世界、認識社會、解決數學問題。

三、數學思想方法的舉例

（一）數形結合思想方法

數形結合是一個重要的數學思想方法，包含了“以形助數”和“以數輔形”兩個方面的內容。其應用大致可以分為兩種情形：（1）能將抽象的數學語言與直觀的圖形符號結合起來，把抽象思維與形象思維結合起來;（2）會用代數的方法去研究幾何問題，會根據圖形的性質及幾何知識去處理代數問題。

（二）分類討論思想方法

當面臨的問題不宜用一種方法處理或同一種形式敘述時，就把問題按照一定的原則或標準分為若干類，然后逐類進行討論，再把這幾類的結論匯總，得出問題的答案，這種解決問題的思想方法就是分類討論的思想方法。分類討論的思想方法實質是把問題“分而治之，各個擊破”，其一般規則及步驟是：（1）確定同一分類標準;（2）恰當地對全體對象進行分類，按照標準對分類做到“既不重復又不遺漏”;（3）逐類討論，按一定層次討論，逐級進行;（4）綜合概括，歸納得出正確結論。

（三）函數與方程的思想方法

函數思想，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時，還實現函數與方程的互相轉化、接軌，達到解決問題的目的。

笛卡爾的方程思想是：實際問題→數學問題→代數問題→方程問題。宇宙世界，充斥著等式和不等式。我們知道，哪里有等式，哪里就有方程;哪里有公式，哪里就有方程;求值的問題是通過解方程來實現的……不等式問題也與方程是近親，密切相關。而函數和多元方程沒有什么本質的區別，如函數y=f（x），就可以看作關于x、y的二元方程f（x）-y=0.可以說，函數的研究離不開方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應用方程思想時需要重點考慮的。

（四）等價轉化思想方法

世界數學大師J·波利亞強調：“不斷地變換你的問題”，“我們必須一再地變換它，重新敘述它，變換它，直到最后成功地找到某些有用的東西為止。”解題的過程實質上是轉化的過程，因此轉化是解決數學問題的重要的數學思想方法。等價轉化是把未知解的問題轉化到在已有知識范圍內可解的問題的一種十分重要的思想方法。通過不斷的轉化，把不熟悉、不規范、復雜的問題轉化為熟悉、規范甚至模式法、簡單的問題。在歷年小、中、高考數學試卷中，等價轉化思想無處不見，我們要不斷培養和訓練自覺的轉化意識，將有利于強化解決數學問題中的應變能力，提高思維能力和技能、技巧.

（五）數學模型思想

所謂數學模型，是指用數學語言把實際問題概括地表述出來的一種數學結構。數學模型是對客觀事物的空間形式和數量關系的一種反映。它可以是方程、函數或其他數學式子，也可以是一個幾何基本圖形，可以利用數學模型解決問題的一般數學方法就是數學模型方法。

（六）統計思想

從局部觀察資料的統計特征，推斷整個系統的狀態，或判斷某一論斷能以多大概率保證其正確性或算出錯誤判斷的概率，由局部到整體，由特殊到一般。

四、結束語

總之，在數學教學活動中，只要切切實實把握好常用的典型的數學思想和方法，同時注意在不同階段滲透中小學數學思想的過程，依據現行課本內容和學生的認知水平和能力，從開始就有計劃地不斷進行滲透，就一定能提高學生的學習效率和數學能力，才能培養學生良好的數學思維能力。

參考文獻：

[1]《中學代數研究》 張奠宙 宋乃慶等著 高等教育出版社 ISBN7-04-017761-7.

[2]《中學幾何研究》 張奠宙 宋乃慶等著 高等教育出版社 ISBN7-04-017762-5.

[3]《數學競賽研究教程》單墫著 江蘇教育出版社 ISBN7-5343-1706-1.