在實踐中“做數學”

馬啟健

【摘? 要】隨著科學技術的快速發展，幾何教學中培養的空間觀念與能力，對其他領域產生的影響越來越大。小學生空間觀念的培養需要“虛實相生”的教學策略，讓學生動手操作學具，以實踐活動為基礎，觀察思考，自主探索與合作交流的過程中，發展學生的空間觀念。

【關鍵詞】幾何教學;空間觀念;教學嘗試

一、緣起：怎么這么難算的“圓柱體積”

人教版六年級數學下冊練習五最后一題：下面4個圖形的面積都是36dm2 。用這些圖形分別卷成圓柱，哪個圓柱的體積最小？哪個圓柱的體積最大？你有什么發現？（單位：dm）

孩子們做這題，無一例外的都認為很難。難的原因不是因為這道題有多種卷法，也不是因為這道題是已知圓柱的底面周長與高要求圓柱的體積，更不是因為通過計算結果所要發現的規律。這道題之所以給學生帶來很大困難，在于根據底面周長求出半徑再求底面積的計算量實在太大，且計算的難度很大。

以第一圖為例，第一種卷法的圓柱底面半徑18÷3.14÷2就已經超過六年級學生的計算水平，因為現行教材的除法只學到兩位數除三位數。更何況前三幅圖都有兩種卷法，共有七種卷法。每種卷法都要先算出半徑，再算出底面積，最后算出體積。即使借助計算器，這道題的計算也要花費大量的時間。

二、疑惑：題目中的數據為什么不選用3.14的倍數

題目中的數據如果選用3.14的倍數，如6.28、12.56、18.84等，計算略為好算了，但有價值嗎？花費七遍的時間，重復練習除了讓學生進一步掌握已知圓柱的底面周長與高求圓柱體積的流程之外沒有多大價值，還會讓學生產生厭學和抵觸情緒。

難道編者故意刁難教師和學生？編者不可能故意刁難教師和學生！那編者的意圖又是什么呢？“人不走讓樓梯走”換角度思考問題發明了電梯。這道題這么難算，有沒有不要算的方法？

三、反思

（一）圓周率π的近似值可以取整數3

這樣計算略為簡單，但這題僅僅是這一目的嗎？

（二）被忽略的另一種算法

眾所周知，圓柱體積等于底面積乘高。當圓柱體換一個位置擺放，體積不變，底面積是側面積的一半，高是圓柱的半徑。也就是說圓柱體積=側面積的一半×半徑。

面對此題，我再次思考：圓柱體積=側面積的一半×半徑，這種方法為什么會被忽略？

“學生的空間想象能力太差了，教完就忘記！”一位教師的抱怨給了我啟發：以往我只注重對教材的解讀，卻忽略了對學情的深度把握。教學的難點不僅僅來自學習內容，學生的空間想象力才是制約學生學習的根本因素。依據教材，學生被強化的只是“圓柱體積=底面積×高”的技能，空間觀念沒有得到相應的發展。因此學生在課堂上雖然“掌握”了知識，實際上這種“掌握”缺少支撐，如同無根之草，經不起時間的檢驗，更經不起變式題目的檢驗。要讓學生真正掌握，應該將教學的重點放在“發展學生的空間觀念”之上。

什么是空間觀念？看不見摸不著的空間觀念又該如何培養？2011年修訂版的數學課程標準指出：空間觀念主要表現在：能由實物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物的形狀，進行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉化;能根據條件做出立體模型或畫出圖形;能從較復雜的圖形中分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關系;能描述實物或幾何圖形的運動和變化;能采用適當的方式描述物體間的位置關系;能運用圖形形象地描述問題，利用直觀來進行思考。

四、實踐：基于發展空間觀念的教學嘗試

空間觀念既有“實”的一面，以“圓柱體積公式推導”一課為例，實指的是：學生能用圓柱學具，通過切拼成長方體，描述出變化的過程及結果。空間觀念也有“虛”的一面，“虛”指的是支撐學生理解和操作的空間想象能力。“實”需要“虛”的統攝和支撐，“虛”需要“實”的誘發和表現，虛實相生是發展學生空間觀念的有效策略。體悟學生的計算困難，我把這道題教學的重點放在“發展空間觀念”這一核心問題上，引導學生再次閱讀課本第25頁圓柱體積公式的推導，教師演示教具，然后學生自己操作學具，采取“虛實相生”的教學策略，透視公式推導直觀本意，助力學生很好地理解了數學知識。

（一）空間想象能力是虛的

“虛”的“空間想象能力”并不是憑空產生的，需要實境來誘發和開拓。為此我通過學生的操作學習活動來“豐盈學生的空間想象力”。蘇霍姆林斯基說：“學生的思維在他們的指尖上。”學生的空間想象力同樣在他們的指尖上，讓學生動手操作學具，以此活動為基礎，觀察思考，發展學生的空間觀念。

（三）用圓柱學具切拼成長方體是“實”的

教學不能停留在看山是山的層面，從具體走向抽象，依托實像誘發想象能有效地發展學生的空間觀念。動手操作后要求學生描述圓柱學具切拼成長方體的過程，描述過程后還要說說自己的發現：什么變了？什么沒變？有了這樣一個環節的鋪墊，這樣學生就會經歷一個由整體想象到細致思考的過程，而不至于把圖形推導的結果僅僅演變為技能的訓練，有效發展學生的空間觀念。

在前面的教學中，通過實踐操作，學生已發現把一個圓柱切開可以拼成一個近似的長方體，在轉變過程中體積不變，底面積相等，高相等，并由此推導出圓柱的體積公式是底面積乘高，可以說這個公式已在孩子們腦中牢牢掌握。在推導的過程中，我把拼成的長方體放倒，引導學生觀察思考：現在什么變了？什么沒有變？長方體擺放的樣子變了，體積沒變。原來長方體的前面變成了底面，此時長方體的底面積就是原來圓柱側面積的一半，長方體的高就是圓柱的半徑，所以得出另一個公式——圓柱體積=側面積的一半×半徑（如下圖），并可進一步得出當側面積一定時，圓柱的體積與底面半徑成正比例的結論。

通過閱讀教材、動手操作，學生恍然大悟。其實這道題可以不用計算，通過推理就能知道哪個圓柱的體積最大？哪個圓柱的體積最小了。由于題目中四個長方形的面積相等，所以卷成的七個圓柱的側面積就相等，它們的體積大小只需要考察底面半徑即可。因為圓的半徑與圓的周長成正比例，所以當側面積一定時，圓柱的體積與底面周長成正比例，底面周長越大的圓柱體積就越大，底面周長越小的圓柱體積就越小。也就是當側面積一定時，圓柱的體積與底面半徑成正比例，底面半徑越大的圓柱體積就越大，底面半徑越小的圓柱體積就越小。本文開頭的練習，七個數據中18最大，2最小。所以第一張紙橫著卷時，18dm的底面周長最大，也就是底面半徑最大，這時的體積也就最大。第一張紙豎著卷時，2dm的底面周長最小，也就是底面半徑最小，這時的體積也就最小。

五、感悟：換個角度柳暗花明

就這樣，一道計算很繁瑣的問題通過換個角度觀察、思考、推理，不要計算就解決了，而且在解決問題的過程中培養了學生觀察圖形、有效推理的能力，發展了學生的求異思維和空間觀念。真是“山重水盡疑無路，柳暗花明又一村”。通過這道題的練習，說明僅僅基于教材的深度解讀，雖然學習材料層次清晰，但是教學的指向是技能的提升，依靠的是外在的強化訓練，有效果卻不牢固;我們的教學設計必須基于學生的學習需要，基于學的設計，重在發展學生的空間觀念，指向了學習的本質，才會取得更好的效果。看來，當學生出現“很難算”等現象的時候，我們需要思考的不僅僅是教材的難度問題，更要思考學生學力的提升問題，以往的教學我們更多地關注前者，以后的教學我們應該更多地關注后者。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.數學新課程標準[M].北京：北京師范大學出版社，2011.

[2]吳麗云.虛實相生透視本意助力理解[J].新教師，2018（7）.

（責任編輯? 袁 霜）