基于核心素養(yǎng)的教學(xué)案例《用點(diǎn)差法解圓錐曲線問(wèn)題》

楊竹青

涉及圓錐曲線的弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)，一般都可以用點(diǎn)差法來(lái)解，但高中人教版課本并沒(méi)有直接出現(xiàn)“點(diǎn)差法”。 為此，在講完數(shù)學(xué)選修2—1雙曲線的性質(zhì)后， 我專門設(shè)計(jì)了一節(jié)點(diǎn)差法解決圓錐曲線問(wèn)題的拓展課，現(xiàn)把 2019年12月中旬我上課的案例實(shí)錄如下：

一、 創(chuàng)設(shè)情景，引發(fā)思維

教師：解析幾何是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，歷來(lái)是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，在近幾年的高考都是2小1大。圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題是高考常見(jiàn)的題型，在選擇題、填空題和解答題中都是命題的熱點(diǎn)。前面，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線和直線的位置關(guān)系，知道了解決這類問(wèn)題的主要方法。下面我們先來(lái)看一道例題：

例1、過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條弦，使弦被點(diǎn)平分，求這條弦所在直線的方程。

師：怎樣求這條直線的方程？

二、 自主探索，暴露思維

問(wèn)題提出后，猶如一石激起千層浪，學(xué)生的探究熱情被激發(fā)起來(lái)，開(kāi)始了對(duì)問(wèn)題的探索。教師巡視后請(qǐng)學(xué)生說(shuō)例1的解題思路。

學(xué)生1：將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立。通過(guò)研究聯(lián)立之后的方程的解來(lái)研究直線與圓錐曲線的問(wèn)題。

學(xué)生2：老師，涉及到解決圓錐曲線中點(diǎn)弦的問(wèn)題，可采用"點(diǎn)差法"來(lái)求解。

師：有的同學(xué)可能第一次聽(tīng)到點(diǎn)差法，不知道點(diǎn)差法解題方法，我們今天就通過(guò)這節(jié)課來(lái)解決。下面請(qǐng)同學(xué)1和同學(xué)2板演解答。兩位同學(xué)用了二種方法，一種韋達(dá)定理，一種點(diǎn)差法。解法1：當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，A點(diǎn)不可能為弦的中點(diǎn)，故可設(shè)直線方程為y-1=k（x-2），聯(lián)立方程組，將直線方程代入橢圓方程，消去y得并整理得顯然此方程的根的判別式大于0.又設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，則是方程的兩個(gè)根，于是又因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，所以，解得故所求直線方程為x+2y-4=0.

師：以上兩種解法就是求解以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線方程的常用方法，我們不妨稱之為“點(diǎn)差法”和“聯(lián)立法”（又叫韋達(dá)定理法）。那么，使用“點(diǎn)差法”時(shí)要注意什么問(wèn)題呢？請(qǐng)同學(xué)們按學(xué)習(xí)小組分組討論上述解法的優(yōu)劣。

生：解法1是其中聯(lián)立直線與橢圓方程消去y（或x）再由韋達(dá)定理求出k雖然思路很清晰，但運(yùn)算比較復(fù)雜。解法二巧用代點(diǎn)做差，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，很容易求出所求直線的斜率，從而達(dá)到解題的目標(biāo)，兩法比較，高下立現(xiàn)。

師：點(diǎn)差法的解題技巧是什么？

生：若設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)（弦的端點(diǎn)）坐標(biāo)為、，將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對(duì)所得兩式作差，得到一個(gè)與弦AB的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運(yùn)算量。我們稱這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法”。

師：請(qǐng)學(xué)生總結(jié)韋達(dá)定理法和點(diǎn)差法到底哪一種更好？

生：點(diǎn)差法好，設(shè)而不求，形式有美感。還能起到化繁為簡(jiǎn)、出奇制勝的效果。

三、 辨析錯(cuò)誤，正本清源

師 ：在圓錐曲線中涉及中點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)，“點(diǎn)差法”往往發(fā)揮很大作用。那么，使用“點(diǎn)差法”時(shí)要注意什么問(wèn)題呢？接下來(lái)我們?cè)倏蠢?（課本62頁(yè)B組第4題）：

已知雙曲線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)能否作一條直線，使與雙曲線交于、，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)。若存在這樣的直線，求出它的方程，若不存在，說(shuō)明理由。

師：這是一道探索性習(xí)題，一般方法是假設(shè)存在這樣的直線 ，然后驗(yàn)證它是否滿足題設(shè)的條件。本題屬于中點(diǎn)弦問(wèn)題，應(yīng)考慮點(diǎn)差法或韋達(dá)定理。

師：同學(xué)們。從例2你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：題如果忽視對(duì)判別式的考察，將得出錯(cuò)誤的結(jié)果，請(qǐng)務(wù)必小心。

師：這又是什么原因呢？

生：“點(diǎn)差法”可以簡(jiǎn)化計(jì)算，前提是直線與圓錐曲線必須要有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。忽略了對(duì)"直線是否與雙曲線有交點(diǎn)"這個(gè)問(wèn)題討論很可能導(dǎo)致產(chǎn)生增解，如雙曲線的中點(diǎn)弦就經(jīng)常出現(xiàn)增解，利用點(diǎn)差法解題時(shí)一定要注意點(diǎn)差法的不等價(jià)性 。

師：使用點(diǎn)差法的有哪些步驟？

生：使用“點(diǎn)差法”時(shí)，一般分三個(gè)步驟進(jìn)行：設(shè)點(diǎn)、作差、檢驗(yàn)。

四、當(dāng)堂訓(xùn)練，活學(xué)活用

練習(xí)1：（2013年高考新課標(biāo)1）已知橢圓E： （a>b>0）的右焦點(diǎn)為F（3，0），過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），則E的方程為（ ）

A.? ?B.? ?C.? ? D.

師：同學(xué)們，這個(gè)題只是點(diǎn)差法的初級(jí)應(yīng)用。

五、深入探究，拓展延伸

師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)以上例1和練習(xí)，觀察、思考、探索弦的中點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線斜率和直線斜率的積與橢圓的基本量a，b之間有什么關(guān)系呢？

生：有著密切關(guān)系。若已知直線與圓錐曲線的交點(diǎn)（弦的端點(diǎn)）坐標(biāo)，將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對(duì)所得兩式作差，得到一個(gè)與弦 的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運(yùn)算量。

師：請(qǐng)說(shuō)具體一點(diǎn)。大家小組討論總結(jié)一下。

歸納總結(jié)得結(jié)論1：在橢圓中，若直線不過(guò)原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦MN的中點(diǎn)，弦MN所在的直線的斜率為，則

師：同學(xué)們，真棒！下面我們一起證明點(diǎn)差法公式。（教師課件出示以下證明過(guò)程）。

師：圓錐曲線中點(diǎn)弦公式太神奇了，你必須要掌握。這些神奇性質(zhì)可秒殺相關(guān)選擇題、填空題，達(dá)到事半功倍的效果。高中數(shù)學(xué)有許許多多靚麗的風(fēng)景線，你們有意識(shí)、有目的地去發(fā)現(xiàn)。

六、 類比推理，橫向拓展

同學(xué)們，若把定理1中的橢圓改為雙曲線，又會(huì)有怎樣的結(jié)論？

生：用類比方法很快得出結(jié)論2：已知雙曲線，若直線不過(guò)原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦MN的中點(diǎn)，弦MN所在的直線的斜率為，則。請(qǐng)同學(xué)課后自己完成證明。

總結(jié)：同學(xué)們，我們可以把結(jié)論1、2可以統(tǒng)一歸納成：若線段AB是橢圓（或雙曲線）的弦，AB中點(diǎn)為M，則，其中e為離心率，且均存在. 通過(guò)這一簡(jiǎn)單的結(jié)論，我們可以秒殺一些在選擇和填空題中有關(guān)橢圓或雙曲線中點(diǎn)弦的問(wèn)題，我們只需要以上結(jié)論，即可做到秒殺該類型的題目，大大縮短了做題時(shí)間。

七、隨堂練習(xí)，強(qiáng)化技巧

1.（2010年高考新課標(biāo)）已知雙曲線E的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)（3，0）是E的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為N（-12，-15），則E的方程為

2、（2014年江西高考題）過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓C： 相交于，兩點(diǎn)，若是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為_(kāi)_________.

八、課堂小結(jié)，有助提升

教師總結(jié)：同學(xué)們，本節(jié)課，我們主要研究了利用“點(diǎn)差法”求解以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程問(wèn)題。通過(guò)大家的努力，不僅掌握了用“點(diǎn)差法”求直線斜率的方法，而且了解到中點(diǎn)弦是否存在只與中點(diǎn)（定點(diǎn)）的位置有關(guān)，并對(duì)于所求結(jié)果是否為增根找到了檢驗(yàn)方法。由“點(diǎn)差法”還得到了與橢圓、雙曲線的中點(diǎn)弦相關(guān)的一些有用的重要結(jié)論。

九、課后作業(yè) 鞏固消化

1.已知橢圓+=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線與橢圓交于點(diǎn)A、B，若AB中點(diǎn)為（1，- ），且直線AB的傾斜角為45°，則橢圓方程為

3、（2015年高考）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在上。（1）求的方程;（2）直線不過(guò)原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸， 與有兩個(gè)交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值.

十、課后反思，助力教學(xué)

本節(jié)課從常見(jiàn)的兩道例題和一道習(xí)題入手，從引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題起，通過(guò)師生互動(dòng)、合作探究的方式，在解決例1中找到了簡(jiǎn)便易行的方法。在例2的教學(xué)使學(xué)生認(rèn)清了產(chǎn)生增根的根源，從而認(rèn)識(shí)到用點(diǎn)差法要進(jìn)行檢驗(yàn)。最后在教師的引領(lǐng)下把橢圓、雙曲線中點(diǎn)弦問(wèn)題的研究推向一般化，不僅實(shí)現(xiàn)了教學(xué)任務(wù)，而且所得結(jié)論對(duì)于學(xué)生系統(tǒng)掌握直線與圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題具有一定的指導(dǎo)意義，學(xué)生主體核心素養(yǎng)得到培養(yǎng)。當(dāng)然，本節(jié)課因容量大，給學(xué)生思考時(shí)間不夠，今后還需繼續(xù)努力。