2019年高考全國(guó)Ⅱ卷理科第21題的解法探究與推廣

廣東省湛江一中培才學(xué)校(524037) 魏 欣

2019年高考全國(guó)卷理科第21題,題型結(jié)構(gòu)常見,三個(gè)問題按梯度層層遞進(jìn),難度步步提升,很好地考查考生的推理論證能力與運(yùn)算求解能力,體現(xiàn)試題的區(qū)分功能與選拔功能.這就需要我們探究時(shí)仔細(xì)品味欣賞,進(jìn)一步去揭示問題的本質(zhì)特征,挖掘其潛在的價(jià)值和功能.本文對(duì)其進(jìn)行多種解法解答與分析,通過與教材習(xí)題對(duì)比、與往年高考試題對(duì)比,力求找到命制此題的素材,希望通過加強(qiáng)對(duì)高考命題的研究,為師生復(fù)習(xí)備考指明方向,提高教學(xué)質(zhì)量.

一、試題展示與評(píng)析

題目(2019年高考全國(guó)卷理科第21題)已知點(diǎn)A(?2,0),B(2,0),動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率乘積為記M的軌跡為曲線C.

(Ⅰ)求C的方程,并說明C是什么曲線?

(Ⅱ)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連接QE并延長(zhǎng)C交于點(diǎn)G.

(i)證明:?PGQ是直角三角形;

(ii)求?PGQ面積的最大值.

評(píng)析此題主要考查軌跡方程的求法,直線和橢圓的位置問題以及最值問題,意在考查學(xué)生的邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,考查方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,考查學(xué)生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),檢驗(yàn)了學(xué)生運(yùn)算求解、分析問題、解決問題的能力.試題解法靈活,內(nèi)涵豐富,綜合性強(qiáng),為不同學(xué)生搭建了施展才能的舞臺(tái),是一道有價(jià)值的試題.

二、解法探究

圖1

圖2

圖3

二、教材尋根

高考題的命題有些是來源于教材,但往往又高于教材,因而我們的課堂教學(xué)需要回歸教材,扎根教材……