利用質點系的“重心”求解線段間的比例

廣東省佛山市羅定邦中學(528300) 龍 宇

一、求質點系的重心

在物理學科中,求三個質點構成的質點系的重心可以由以下方式獲得:設A,B,C點的質量分別為m1,m2,m3,這三點由有沒有質量的線段兩兩相連.根據杠桿原理在AB線段上尋找AB的平衡點D,易知接下來由點D替代線段AB,且使得點D處的質點的質量為m1+m2,在線段CD上再次使用杠桿原理,求得CD的平衡點E,可得由此得到的點E即為原A,B,C三點構成圖形的重心.

受上面的啟發,我們可以將該原理引入到數學中解決三角形以及三棱錐的邊的線段定比分點問題.

二、在平面中求解線段的比例

例1如圖1,在?ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,點D為BC上一點,且DC=2BD,點E為AC上一點,且AE=3EC,連接AD與BE,設交點為F,求的值.

圖1

分析該問題可以通過構造向量求解,也可通過構造輔助線利用三角形相似求解,但難度都較大,且不容易推廣.接下來,本文就通過上文中的找重心的方法求解.

解析通過給A,B,C三點處賦予質量(連接的線段沒有質量),使得點F為?ABC的重心.

由DC=2BD,結合杠桿原理,在點B處賦予質量2,點C處賦予質量1;

由AE=3EC,結合杠桿原理,再由點C處已經賦予質量1,點A處賦予質量

由點D替代線段BC,且賦予點D的質量為點B及點C的質量之和為3.

在A,F,D中使用杠桿原理,則有同理可得

現將該結論推廣至一般情況.

圖2

問題1(一般提法)如圖2,在?ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,點D為BC上一點,且BD:DC=m:n,點E為AC上一點,且CE:EA=s:t,連接AD與BE,設交點為F,連接CF與AB交于點M,求的值.

解析仿照例1,通過賦予質量,使得點F為?ABC的重心.

由題意可設:B,C,A三點的質量……