構建幾何模型巧解函數最值問題

四川省成都市四川師范大學附屬中學(610061) 康 琳

一、構建三角形模型

例1(2013年高考全國卷Ⅰ)若函數的圖像關于直線x=?2對稱,則f(x)的最大值是____.

解觀察函數結構,發現x=±1是函數f(x)的兩個零點,由函數圖像關于直線x=?2對稱得,x=?3,x=?5是函數f(x)的兩個零點,即x=?3,x=?5是二次方程x2+ax+b=0的兩個根,由韋達定理可得a=8,b=15.f(x)=(1?x)(x+1)(x+3)(x+5),觀察結構發現可以和海倫公式聯系起來.由函數圖像可知,f(x)取最大值時的x,x∈(?5,?3)或x∈(?1,1).不妨設x∈(?1,1),則 1?x,x+1,x+3,x+5均大于零,由(1?x)+(x+1)+(x+3)+(x+5)=2x+10=2p,所以p=x+5,得a=2,b=4,c=2x+4,因為x∈(?1,1),所以 2x+4∈(2,6),構造 ?ABC,∠ACB∈(0,π),BC=2,AC=4,易知當時,S取最?ABC大值所以f(x)的最大值16.

評注這里借助了四項連乘的形式與海倫公式聯系,在滿足四項均為正的條件下,構造三角形模型,利用幾何關系求最值[1].

二、構建距離模型

例2求的最小值.

解設函數上任意一點函數f(x)=lnx,x＞0上任意一點N(a,lna),則原表達式構建的幾何模型是點點距離|MN|與點M到x軸距離的和,設拋物線的焦點是F(0,1),由拋物線定義可得,即求|MN|+|FM|?1的最小值.

如圖1所示,當M,F,N共線且FM與函數f(x)在點N處的切線垂直時取得|MN|+|FM|?1的最小值,設N(x0,lnx0),切線斜率解得x=01,即|MN|+|FN|?1的最小值

圖1

評注被開方式的最高次數為2時,可以考慮構建兩點之間的距離這個幾何模型,構造幾何圖形求函數最值可以使運算量大大減小,在教學中我們要重視求最值的方法的訓練和提煉,但無須追求靈巧新奇,以常見的基本方法為主,相信熟能生巧,基本功扎實了,自然能夠得心應手[2].

三、構建圓模型

例3(2018年高考全國卷Ⅰ)已知函數f(x)=2sinx+sin2x,則f(x)的最小值是___.

解f(x)=2sinx(1+cosx),設a=1+cosx,b=sinx,則(a?1)2+b2=1,A(a,b)是圓上任意一點,它關于x軸的對稱點B(a,?b),2ab的最小值即為以O為頂點的等腰?OAB的……