橢圓切線的又一性質

內蒙古巴彥淖爾市第一中學(015000) 楊松松 王東偉

文[1]中給出了與橢圓切線有關的一個性質:

命題[1]設F1,F2是橢圓的焦點,A,A′是長軸兩端點,過F1,F2作橢圓上一點P處切線的垂線,垂足分別為B,C,則點B,C在以AA′為直徑的圓上.

近年來各省市基于這一性質而命制的模擬試題也層出不窮.經探究,筆者又得到了與橢圓切線有關的一個性質.

性質如圖1,已知P為橢圓上一點(不與長軸頂點重合),直線l是過點P的橢圓的切線,過兩焦點F1,F2分別作切線l的垂線與橢圓C分別交于點M,N,過點M,N的橢圓的切線交于點Q,以橢圓C的中心為圓心,且過長軸頂點的圓記作圓O.則點Q在圓O上,且過點Q的圓O的切線與切線l平行.

圖1

證法2若要證明點Q在圓O上,根據命題1,只需證明QF1⊥QN.如圖2,連結F2M,作點F1關于切線QM的對稱點A,連結AF2,則由橢圓光學性質知,A,M,F2三點共線.又|MF1|=|MA|,所以|AF2|=|AM|+|MF2|=|MF1|+|MF2|=2a.

圖2

連結F1N,作點F2關于切線QN的對稱點B,連結BF1,則由橢圓光學性質知,B,N,F1三點共線.又|NF2|=|NB|,所以|BF1|=|BN|+|NF1|=|NF2|+|NF1|=2a.

所以|AF2|=|BF1|.連結QA,QF1,QB,QF2,則|QA|=|QF1|,|QF2|=|QB|,所以?QAF2∽=?QF1B,所以∠QAF2=∠QF1B.又|MA|=|MF1|,|QA|=|QF1|,所以 ?QMA∽= ?QMF1,所以∠QAM=∠QF1M,所以

過點N作切線QN的垂線m交x軸于點D,由橢圓的光學性質知,又F1M⊥l,F2N⊥l,所以F1M//F2N,所以∠MF1N=∠F1NF2.又所以∠QF1B=∠F1ND,所以QF1//m,所以QF1⊥QN,所以點Q在圓O上.

下面證明F1M//OQ.延長F1Q到R,使|QR|=|F1Q|.連結RF2,則OQ是?RF1F2的中位線,所以OQ//RF2且|RF2|=2|OQ|=2a.連結RN,則|RN|=|NF1|,所以|RN|+|NF2|=|NF1|+|NF2|=2a,因此|RN|+|NF2|=|RF2|,所以R,N,F2三點共線,所以F2N//OQ.又F2N//F1M,所以F1M//OQ.

推論1已知橢圓的左、右焦點分別為F1,F2,O為坐標原點,M,N是橢圓C上位于x軸同側的兩點,且F1M//F2N.若過點M,N的橢圓的切線交于點Q,則點Q在圓x2+y2=a2上,且OQ//F1M.標原點,Q為圓x2+y2=a2上一點(不與橢圓長軸頂點重合).過橢圓兩焦點F1,F2分別作與有向線段OQ同向的有向線段F1M,F2N,F1M,F2N分別交橢圓于點M,N,則直線QM,QN與橢圓……