過焦點的阿基米德三角形的性質及其在高考中的應用

安徽省合肥市第一中學(230601) 谷留明

文[1]介紹了拋物線中阿基米德三角形—-圓錐曲線的弦與過弦端點的兩條切線所圍成的三角形的一些性質,在此基礎上,本問探究圓錐曲線中過一個焦點的阿基米德三角形的統一性質及其逆定理,由此得出圓錐曲線在任意一點處或過準線上任意一點的切線的作圖方法,并舉例說明了這些性質在解決近幾年相關高考題中的妙用.

1 性質定理

性質已知圓錐曲線C的焦點F對應的準線為l,過l上一點P引曲線C的兩條切線PA,PB,切點分別為A,B,則直線PF垂直AB于F.

圖1

當圓錐曲線C為雙曲線時,如圖2,證明類似,略.需注意的是,如圖3,對于l上的點P,當且僅當P在漸近線上時,過P只能引雙曲線C的一條切線.設切點為A,此時易證PF⊥AF于F.

圖2

圖3

圖4

若此性質的條件和結論適當逆過來,命題也成立.

逆定理1已知過圓錐曲線C的一個焦點F的直線交曲線C于點A和B,過F作直線AB的垂線,若垂線與F對應的準線相交于點P,則直線PA,PB均為曲線C的切線.

當圓錐曲線C為雙曲線或拋物線時,證明類似,略.

逆定理2已知線段AB為圓錐曲線C的過焦點F的弦,若曲線C在A,B處的切線相交于點P,則點P必在焦點F所對應的準線上,且PF⊥AB.

當m=0時，lAB⊥x軸,kPF=0,PF⊥AB;當0 時,

PF⊥AB.

當圓錐曲線C為橢圓或雙曲線時,證明類似,略.

進一步研究發現,還有以下結論成立.

結論1已知拋物線C的弦AB過焦點F,拋物線C在A,B處的切線相交于點P,則∠APB=90?.

結論2已知拋物線C的弦AB過焦點F,點P在拋物線C的準線上,且∠APB=90?,則PF⊥AB,且直線PA,PB均為拋物線C的切線.

再根據逆定理1,可得直……