三角形“四心”平面向量統一表征

廣東省廣州市第十六中學(510080) 溫伙其

平面向量是高中數學重要基本工具之一,它是實現代數與幾何相互轉化的橋梁.而三角形的內心、外心、重心、垂心具有很多特殊性質.當平面向量和三角形“四心”結合時,則有以下兩個優美結論,也稱“奔馳定理”.

命題1若點P為?ABC內一點,總有

證明文[1]已經給出了一種證明方法,除此方法外也可借助法向量給予證明.下面再通過向量形式定比分點公式給予證明.如圖1,延長AP交BC于點D,由向量形式定比分點公式有

圖1

借助上述兩個重要結論以及三角形“四心”的定義,我們可以證明三角形“四心”下面四組優美的統一表示:

一、三角形“四心”的平面向量運算表征

當點M、N、P、H分別為?ABC(非直角三角形)的內心、外心、重心、垂心時,分別有以下關系式成立:

三角形三個內角平分線的交點為內心;三條邊中垂線的交點為外心;三條中線的交點為重心;三條高線的交點為垂心.根據這些定義容易證明上述表征.

二、三角形“四心”的三角函數表征

當點M、N、H分別為?ABC(非直角三角形)的內心、外心、垂心時,分別有以下關系式成立:

證明對于①,如圖2,當點M是?ABC的內心時,設內切圓半徑為r,則有

圖2

圖3

對于③,如圖4,當點H是?ABC(非直角三角形)的垂心時,有S?BHC:S?AHC:S?ANB=tanA:tanB:tanC,再根據結論2,則有

圖4

三、三角形“四心”的單位向量表征

已知O為平面上的一個定點,A、B、C是該平面上不共線的三個動點,

四、三角形“四心”的正余弦定理表征

三角形“四心”雖然產生來源不同,反映的幾何特征也各自不同,在平面向量……