不同背景下的三角函數(shù)綜合題的常見題型及策略分析

江蘇省鎮(zhèn)江市丹徒高級中學(212143) 范習昱

所謂三角函數(shù)綜合題,就是圍繞三角函數(shù)的圖像和性質、三角恒等變換、解三角形的知識體系,將其中某兩種或三種綜合起來命制三角題,主要運用的工具是三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)的公式、兩角和與差的三角函數(shù)公式等三角恒等變換公式以及正、余弦定理等三角形中的常見定理和結論.這類題型是各省市的高考考查的重點,一般命制中檔難度的解答題,是考生主要的得分點,一旦失手,后果可想而知.然而一些學生很容易算錯,甚至花了很多時間進步不大.筆者結合多年高三復習經(jīng)驗,翻閱很多高考試卷,發(fā)現(xiàn)這些題的命制背景雖然不同,解題策略卻規(guī)律明顯,筆者進行了總結和反思,希望能讀者些許幫助.

1.三角形背景下正、余弦定理的直接運用

例1?ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知(a+2c)cosB+bcosA=0.

(1)求B;(2)若b=3,?ABC的周長為的面積.

點評在三角形中直接運用正、余弦定理是三角函數(shù)綜合題中最典型的題型,也是最為常見和簡單的.一般題中會給出一個含有三角形邊角的等式,比如案例1中的等式(a+2c)cosB+bcosA=0,同學們只需對這等式進行恒等變形,即利用正、余弦定理將其統(tǒng)一為邊或者角即可.

反饋演練?ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.

(1)求C;(2)若?ABC的面積為求?ABC的周長.

答案?ABC的周長為

2.向量背景下的解三角形或三角函數(shù)圖像和性質的考查

例2在?ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知m=(a,c?2b),n=(cosC,cosA),且m⊥n.

(1)求角A的大小;

(2)若b+c=5,?ABC的面積為求a.

解(1)由m⊥n,可得m·n=0,即 2bcosA=acosC+ccosA,即2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA,即2sinBcosA=sin(A+C),因為sin(A+C)=sin(π?B)=sinB,所以2sinBcosA=sinB,即sinB(2cosA?1)=0,因……