統計與概率背景下的遞推數列

廣東省佛山市樂從中學(528315) 林國紅

數學知識之間存在著縱向和橫向的有機聯系,這些聯系的交匯點往往是各類考試命題的“熱點”.統計與概率內容是數學知識的綜合應用,也是中學數學一個重要的交匯點,已經成為聯系多項知識內容的媒介;數列是高中數學的重點內容,易與其它內容交匯融合.2019年高考全國卷Ⅰ理科第21題(壓軸題)出現概率與數列兩者知識點的交匯考查,引起教師與學生的較大反響.由于此類考題條件多,背景新穎,成為近年各種考試的一個熱點問題,其所考查的數學知識和思想方法相當深刻,難度也較大.

鑒于上述情況,本文采擷幾例進行分類解析,展示統計概率與數列交匯的美妙,旨在揭示解題的規律與方法.

題型一:an=pan?1+q型

例1(2018年山東省高中數學聯賽競賽預賽第5題)甲、乙兩人輪流擲一枚硬幣至正面朝上或者朝下,規定誰先擲出正面朝上為贏: 前一場的輸者,則下一場先擲,則甲贏得第n場的概率為___.

解答設甲贏得第n場的概率為pn,在每一場,先擲的人贏得的概率為

例2(2017年貴州省高中數學聯賽競賽預賽第14題)擲一枚硬幣,每次出現正面得1分,出現反面得2分.反復擲這枚硬幣,則恰好得n分的概率為____.

解答設pn表示恰好得到n分的概率.不出現n分的唯一情況是得到n?1分以后再擲出一次反面.

例3(2017年廣西省高中數學聯賽競賽預賽第6題)一名籃球隊員進行投籃練習.若第n次投籃投中,則第n+1次投籃投中的概率是;若第n次投籃不中,則……