利用導(dǎo)數(shù)解決含參不等式參數(shù)取值范圍問題的策略

廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué)(528454) 李文東

含參不等式恒成立問題,特別是利用導(dǎo)數(shù)解決含參關(guān)系式恒成立求參數(shù)的取值范圍這一問題經(jīng)常出現(xiàn)在高考試題中,是高考的重點也是難點.解決這一類問題需要用到函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論等數(shù)學(xué)思想,能夠很好的反映學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).下面結(jié)合例題具體談?wù)劥祟悊栴}的求解策略.

策略一 不等式f(x,a)≥0恒成立?fmin(x,a)≥0,合理分類討論求最值.

例1(2010年高考新課標(biāo)卷理科)設(shè)函數(shù)f(x)=ex?1?x?ax2,a∈R.若當(dāng)x≥0時,f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.

解因為f′(x)=ex?1?2ax,它比較復(fù)雜,考慮進一步求導(dǎo):f′′(x)=ex?2a,顯然f′′(x)遞增,故當(dāng)x≥0時,f′′(x)min=1?2a.于是

(1)當(dāng)2a≤ 1,即時,f′′(x) ≥ 0,所以f′(x)在[0,+∞)單調(diào)遞增,所以f′(x) ≥f′(0)=0,即f′(x)≥ 0,所以f(x)在[0,+∞)單調(diào)遞增,所以f(x)≥f(0)=0.

(2)當(dāng)2a＞1,即時,令f′′(x)=ex?2a=0,解之得x=ln2a.

當(dāng)x∈(0,ln2a)時,f′′(x)＜0,f′(x)為單調(diào)遞減函數(shù);又因為f′(0)=0,所以x∈(0,ln2a)時,f′(x)＜0,所以f(x)在區(qū)間(0,ln2a)是單調(diào)遞減函數(shù).又f(0)=0,所以x∈(0,ln2a)時,f(x)＜0不符合題意要求.

綜上所述,實數(shù)a的取值范圍為

評注(1)分類討論的難點在于分類標(biāo)準(zhǔn)的確定,目標(biāo)就是確定導(dǎo)函數(shù)的符號,一般要結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的具體形式來確定.如果導(dǎo)函數(shù)的符號能等價轉(zhuǎn)化為一個二次函數(shù)的符號,則常見的討論標(biāo)準(zhǔn)如下:1.討論是否是二次函數(shù);2.討論零點的存在與否;3.討論零點是否在定義域之內(nèi);4.討論零點的大小關(guān)系;5.討論二次函數(shù)的開口方向.

(2)本例中f′(x)=ex?1?2ax比較復(fù)雜,為了研究其符號,關(guān)鍵還是弄清楚其單調(diào)性,故繼續(xù)對其求導(dǎo)后根據(jù)f′′(x)=ex?2a的符號來確定討論標(biāo)準(zhǔn).

策略二分離參數(shù)避免分類討論,快速求解.

例2(2013年高考全國新課標(biāo)卷)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若……