一道2019年直線過定點模考題的探究與思考*

北京市第十二中學高中部(100071) 劉 剛

題目(2019年北京市海淀區一模文科第20題)已知橢圓的左頂點為A(?2,0),兩個焦點與短軸一個頂點構成等腰直角三角形,過點P(1,0)且與x軸不重合的直線l與橢圓C交于M,N不同的兩點.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)當AM與MN垂直時,求AM的長;

(Ⅲ)若過點P且平行于AM的直線交直線于點Q,求證:直線NQ恒過定點.

試題考查了橢圓的標準方程、幾何性質、直線與橢圓的位置關系以及直線過定點問題,考查了設而不求、整體替換等數學方法,檢驗了運算求解、分析問題與解決問題的能力.試題解法多樣,內涵豐富,為不同學生搭建了施展才能的舞臺,是一道好題.第(Ⅰ)問求得橢圓C的方程為第(Ⅱ)問求得AM的長為下面重點探究第(Ⅲ)問的解法以及對試題的進一步思考.

1.解法探究

思路1設出M(x1,y1),N(x2,y2),然后表示出點Q的坐標,進而寫出直線NQ的方程,接下來聯立直線l與橢圓C的方程,運用韋達定理求解.

點評證法1由命題組提供,基本思路是借助直線NQ的方程以及韋達定理求解,但易想難算,對學生的運算能力要求較高.

思路2先考慮直線l與x軸垂直,求得直線NQ過點(2,0),由橢圓的對稱性猜想直線NQ過定點(2,0),然后再轉化為一般性的證明.

點評由于直線NQ所過的定點并沒有給出,這給解答增添了難度,如果事先能知道這個定點,無疑給前進的道路指明了方向,將會柳暗花明.因此,在解決這種問題時,先通過特殊位置(如直線與坐標軸垂直、與曲線相切等)找出定點,再轉化為一般性的證明,這是常用的解題思……