例析四邊形最值問題的常見題型及其求解策略

廣東省佛山市第一中學(xué)(528000) 吳統(tǒng)勝 李 維

高考對(duì)解三角形部分內(nèi)容常考查“利用正弦定理、余弦定理、主要的三角公式、基本不等式等知識(shí),通過轉(zhuǎn)化、方程等思想,經(jīng)過運(yùn)算、推理、度量邊、角或周長(zhǎng)、面積和其他伴隨要素.”解三角形的實(shí)質(zhì)是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題即方程問題,故解三角形的核心是方程思想.而四邊形最值問題因其綜合性強(qiáng),常作為選擇題或填空題的壓軸題來考查.常需利用基本不等式、函數(shù)觀點(diǎn)或數(shù)形結(jié)合才可有效突破,可以較好地考查考生邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新能力,突出高考的選拔功能.下面筆者舉例說明四邊形最值問題的常見題型及其求解策略,以期對(duì)廣大師生在解決此類問題時(shí)帶來幫助.

題型一 長(zhǎng)度最值問題

評(píng)析設(shè)∠BAC=θ,利用正弦定理、余弦定理直接建立AD關(guān)于θ的目標(biāo)函數(shù),再利用輔助角公式求得最值.

圖1

圖2

評(píng)析建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,引入角作為參數(shù),結(jié)合復(fù)數(shù)三角形式乘法的幾何意義求出點(diǎn)D坐標(biāo),再利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出AD,進(jìn)而求得AD最值.研究平面幾何中的長(zhǎng)度、面積及線線位置問題,有時(shí)可以采用解析法使問題得到巧妙解決.

圖3

解法3(幾何視角)如圖3,過B作BO⊥BA,且BO=2,連接OA、OD,則又∠OBD=∠ABC=90?+∠ABD,所以 ?OBD∽ ?ABC,從而即因?yàn)镺A+AD≥OD,所以當(dāng)且僅當(dāng)O,A,D三點(diǎn)共線時(shí),AD的最小值為

評(píng)析該解法巧妙地構(gòu)造了與?ABC相似的?OBD,并利用相似三角形的性質(zhì)得到再由三角形兩邊之和大于第三邊非常巧妙地求得了AD的最小值.

解法4(軌跡……