一個代數問題解法探究與推廣

上海市七寶中學(201101) 李佳偉

上海師范大學(200235) 游佳樂

上海市浦東外國語學校東校(201206) 顧 鋒

1.試題呈現

2.解法探討

那么,除了純代數的解法,還有沒有其他方法呢?事實上,我們在上述解題過程中發現:這可以看作(2,1)點在直線上,而根據我們可以聯想到直角三角形的周長.因此,題意可以轉化為:一條直線經過(2,1)點(或者(1,2)點),與x軸正半軸、y軸正半軸相交,求圍成的三角形周長的最小值.基于如上分析,這里再介紹一種比較巧妙的解法:

圖1

解法二如圖1:A(1,2),?OPQ的斜邊PQ過A點,P(0,p),Q(q,0),⊙O1為?OPQ的旁切圓,與x軸相切于點M,與y軸相切于點N,與PQ相切于點I,O1點坐標為(r,r),易知?OPQ的周長為且NP=PI,IQ=MQ,所以C?OPQ=OM+ON=2r,而O1A≥r,所以(r?1)2+(r?2)2≥r2,解得r≥ 5或r≤ 1(舍),所以(C?OPQ)min=2×5=10.

此外,我們還可以利用方程的思想解決這個問題:

當然,本題還有許多其他的解法,有興趣的讀者可以不妨嘗試一下.

3.試題加強與推廣

根據第二種利用幾何意義的解法,筆者經過一番研究,解決了更為一般的問題.

問題推廣1設直線PQ經過點A(a,b),a＞0,b＞0,與x軸,y軸分別交于Q,P兩點,求?OPQ周長的最小值.

我們不妨利用同樣的方法嘗試下:條件與解法二一致,因此,只有最后的不等式與解法二不同:(r?a)2+(r?b)2≥r2,因此r2?(2a+2b)r+a2+b2≥0,因此可得或者r≤a+因此我們可以看到,當a=1,b=2時,得到這與之前得到的結果是一致的.

若我們把條件中的a＞0,b＞0改成0,也就是說點A不一定在第一象限內,則可以利用對稱性得到更為一般的結論:因此我們最終得到一個結論:若直線PQ經過點A(a,b)0,與x軸,y軸分別交于Q,P兩點,則?OPQ周長的最小值為

4.進一步推廣

問題推廣2設∠O＜180?,點A(a,b)在∠O內,直線PQ過點A交∠O的兩……