解三角形中求最值方法的探究

貴州省貴陽市花溪區(qū)溪南高中 楊昌舉

在三角形中,求某些不確定量(式)的取值范圍或最值,是高考中常見題型,歸納起來主要體現(xiàn)在:求角、邊、周長、面積的范圍或最值.這類題型知識能力的要求高、難度大,不僅要求學(xué)生要具備靈活運(yùn)用正(余)弦定理的準(zhǔn)確計算能力,而且更要求學(xué)生要有較強(qiáng)的觀察、理解、分析與推理的思維演變能力.因此要解決此類問題,首先要充分掌握三角形中所存在的等量關(guān)系,比如,A+B+C=π,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(其中R為三角形的外接圓半徑),c2=a2+b2?2abcosC;以及一些不等關(guān)系,比如,|a?b|＜c＜a+b,0＜A＜π,0＜A+B＜π,特別當(dāng)?ABC為銳角三角形時,a2+b2＞c2等;同時結(jié)合題設(shè)條件把所求問題進(jìn)行合情推理、恒等變換(邊化角,角化邊),并從中尋找出引起不定量變化的參變量,再充分利用不等式相關(guān)性質(zhì)、三角函數(shù)的有界性等,求出相關(guān)不定量(式)的最值或取值范圍,進(jìn)而厘清問題的本質(zhì).本文就對求角、邊、周長、面積等的取值范圍或最值的思維方法、分析方法和解決方法作簡單的探究和歸納.

一、角的范圍或最值

“角”是研究三角函數(shù)的核心,三角函數(shù)的取值范圍與角的大小緊密關(guān)聯(lián),所以研究三角形中的“角”的取值范圍或最值可借助三角函數(shù)的有界性,或利用正(余)弦定理把三角轉(zhuǎn)換成邊,再結(jié)合不等式的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解.

二、邊的范圍或最值

正(余)弦定理告訴了三角形中邊與角相互轉(zhuǎn)換的規(guī)律,這就凸顯了正(余)弦定理的本質(zhì)所在,因此研究和探討邊的取值范圍或最值時,充分抓住邊與角兩元……