一道三角最值問題的源與流

廣東省廣州市執信中學(510080) 朱清波

2020屆廣州調研考試理科數學第16題是一道三角最值問題,其解法引起了眾多討論.諸多解法中,有些運算量較大,學生在短時間內很難保證準確性,只適合作課外探究;有些解答相對便捷,但學生臨場較難想到;還有些解答利用了待定系數法和柯西不等式等,能力要求較高的特殊技巧.本題解答固然重要,但只追求相關問題的解法而沒有從背后弄清這類問題的“源”是有些缺憾的.本文從這道題展開作一點拓展探究,以期提升對這類問題的更高層次的認知.

圖1

從測試結果反饋來看本題正確率極低,究其原因主要是學生在極短的時間內對條件解析的思路不清晰,有方向但沒有絕對的把握,有些是所選定的面積表示法過繁,無法保證其后續運算的準確性(如方法1和2);也有些是沿著一條路走的太遠,陷入了“死胡同”,當然學生缺乏用解析的思想來處理上述問題也是一個重要的原因.

比較而言,顯然解法4是這四種方法中運算最簡潔的;而(?)式表明:滿足條件的頂點A的軌跡實際上是一個與邊長a有比例關系的圓(除去兩個點).值得思考的一個問題是:為什么條件“4a2=b2+2c2”中隱藏著這個關鍵信息呢?下面我們從一個經典的三角形中長度計算公式開始,逐步揭示該條件下所隱藏的相應規律.

問題2?ABC中,記A,B,C的對邊分別為a,b,c,如圖2,T是BC上一點,且求|AT|.

圖2

解析由B,T,C三點共線,所以兩邊各自與自身作數量積:

若條件為已知兩邊和一……