例說導數問題中的構造法*

北京市第四中學(100034) 唐紹友

高中階段學習導數不是純粹為了求函數的單調區間與極值,而根本目的是為了更深入地研究函數與方程、不等式等問題,用導數研究函數與方程、不等式是必修1的初等方法研究的延續和拓展,即導數是研究函數與方程、不等式的新工具,用此工具解決相關問題需要一定的技巧,比如適當變形、等價轉化、分類討論、精心構造等手段常常是用導數研究函數與方程、不等式的重要方法.基于此,本文僅對構造法做一些探討.

1.根據導數特征構造函數

例1已知函數f(x),x∈R,滿足f(2)=3且f′(x)?1＜0,則不等式f(x2)＜x2+1的解集是___.

分析根據導數特征:f′(x)?1,可以想到它的一個原函數f(x)?x.

解設g(x)=f(x)?x(x∈R),由題意可知:g′(x)=f′(x)?1＜0,所以g(x)在R上遞減,由f(x2)＜x2+1得f(x2)?x2＜1=f(2)?2,即g(x2)＜g(2),所以所以原不等式的解集是

評析(1)根據導數特征想到一個原函數,這是比較常用的方法之一.比如: 由f′(x)g(x)+f(x)g′(x),可構造F(x)=f(x)g(x),由f′(x)g(x)?f(x)g′(x)＜0,可構造特別地,由xf′(x)?f(x)＜0可構造由xf′(x)+f(x)＜0 可構造:F(x)=xf(x);(2)由于本題是填空題,所以可以構造特例解決.比如構造函數滿足題設條件,然后代入不等式解得答案.這樣的解法不是嚴格解法,只適合求解選填問題.

2.根據分式極限的特征構造導數定義模型

評析當然本題也可以用洛必達法則求極限.但超越了高中要求.構造導數定義模型的關鍵在于構造函數平均變化率的表達式.

3.根據超越方程的特征構造函數圖象

例3已知函數f(x)=x(lnx?ax)有兩個極值點,則實數a的取值范圍是( )

分析問題歸結為求f′(x)=0有兩不等實根時的a的取值范圍.而解決超越方程的實根問題主……