基于有過程歸納 促進學生思維發展

摘要：有過程的歸納教學是基于理念、追求事實，是發現知識的教學，本文以《三角形的內角和》一課為例，說明歸納是基于聯想的思維形式，讓學生進行有知識根據的合乎情理的想象;歸納推理的思維過程是動態的，促進學生經歷多種思維沉思的過程，從而歸納概括出一般結論;歸納推理的思維基礎是類，通過類來促進學生形成由個別到一般的不完全歸納思維。

關鍵詞：歸納教學;三角形;教學實踐

doi：10.16083/j.cnki.1671-1580.2020.03.005

中圖分類號： G632???????????????????? 文獻標識碼：A???????????????????????????????? 文章編號：1671—1580（2020）03—0028—04

三角形一直與人類文化現象密切相關，如金字塔、半坡人面魚紋彩陶、鼎，其中都不乏三角形的基本結構。人體中存在著不同結構的三角形區域。因此，研究三角形的性質非常有價值。三角形是由邊和角兩部分組成，本文旨在研究三角形角的特點。

一、有過程歸納教學的價值分析

于偉校長提出“有過程的歸納教學”是強調學生通過不斷經歷合情合理的推測、探究、體驗等操作，不斷經歷知識原初產生的過程、經歷多種形式對話的過程、經歷多種思維沉思的過程，從而歸納概括出一般結論的教學。因此有過程地歸納教學是基于理念、追求事實，是發現知識的教學，從而培養學生更為“自然”的思維模式。

（一）內容分析。課標中涉及到三角形的學習有兩個“核心詞”。第一個是“空間觀念”，通過引導學生充分觀察、動手操作，并借助想象進一步發展“空間觀念”。因此，中年級學生在進行圖形與幾何領域的學習時，應更多從動手操作中積累認知經驗，豐富認知表象，為后繼分析圖形性質提供感性支撐和直觀論據。第二個是“推理能力”，即合情推理與演繹推理。本課滲透的是合情推理中的歸納推理。通過“量”“轉”“折”等具體操作探索思路，合情推理用于發現結論，進而再通過演繹推理用于證明結論。 兩種推理的有機結合才是完善的推理過程。

（二）價值分析。動手操作可以為學生發現和確定問題的研究方向，但由于操作本身誤差的存在，跳出了簡單的直觀感知層面，避開了“誤差尷尬”，凸顯出演繹推理的必要性，讓數學充滿理性色彩。學生就這樣通過不斷經歷合情合理的推測，不斷經歷知識原初產生的過程、經歷多種形式對話的過程、經歷多種思維沉思的過程，從而歸納概括出一般結論。因此有過程的歸納教學對《三角形的內角和》的教學具有重要的價值，同時可以培養學生更為自然的思維模式。

二、學情調研與教材分析

（一）學情調研與分析。在有過程的歸納教學中，教師在設計教學時要了解兒童在上課之前持有怎樣的生活概念， 有過程歸納教學的就要以兒童這些零散的生活概念為根基， 在此基礎上用有趣的、新穎的、富有挑戰性的任務來引導孩子系統深刻地再經歷知識得出和形成的過程，使兒童低級的生活概念發展為高級的科學概念。

1. 從學生認知起點出發，確定新知的生長點。課前通過調查的方式提出問題： “你對三角形角的特點有哪些了解？ ”結果發現，雖然大部分學生從各種途徑知道了三角形的內角和是180度這個結論，但學生不知道為什么所有三角形的內角和都是180度。 所以本節課的教學重點自然就是要讓學生經歷這個結論的產生過程，而不是結論本身。 同時，我們還要讓學生思考這樣一個問題，是不是所有的結論都不需要質疑？

2. 緊扣兒童的心理特點，確定新知的學習方式。四年級學生的心理特點是好奇，傾向于直觀。 動手操作是這個階段學生自己能想到且最直接的驗證方法，直觀且易操作。 學生在研究角的度數問題時，自然想到用量角器量，量一量順應了學生的原有經驗。雖然量角這個操作可以為我們的探究指明方向， 但因為操作有誤差，學生自然會思考： 得到結論的方法本身是否嚴謹？ 為引出更科學、更嚴謹的驗證方法提供鋪墊。因此，更嚴謹的演繹推理的學習方式也應該是該課的重點之一。

（二）不同版本教材對比與分析。對比國內現行幾個版本教材，筆者發現其中人教版、北師版、青島版和蘇教版這四個版本教材對于該內容的引出方式都是大致相似的，都是通過動手操作，即用畫、量、算等符合兒童認知特點的方法進行引入，經歷對不同種類三角形的三個內角測量、計算的過程，讓學生初步感悟結論。教材的這種編排尊重學生學習特點的同時，遵循了圖形認識的內在規律。不同的是蘇教版測量的是學生手邊比較熟悉的兩個三角板。青島版版本教材既強調了操作證明的實際意義，同時也通過折一折的活動滲透了平行公理。

浙教版教材的引入方式最為與眾不同，其他版本教材都是從測量入手，只不過有的量的是自己制作的三角形，有的量的是現成的三角板。而浙教版教材有著探究學習的意味，它是從變化的三角形入手，讓學生猜測變化的三角形背后隱藏著什么不變的東西，從而得到一個假設三角形內角和是一個固定的讀數，是不變的東西。最后再通過驗證并得到結論三角形的三個內角和是180度。

通過以上分析，不難發現大多數教材都是從實踐操作入手探索三角形的內角和，通過合情推理得到結論，但沒有—個版本的教材從演繹證明的角度來探索與研究三角形內角和。

三、學習材料的選擇與任務設計

通過學情分析和不同版本教材的對比分析，我們確定利用合情推理和演繹推理相結合來進行三角形內角和的學習。

首先我們通過“量”“算”“折”等具體的操作層層推進，讓學生深刻感受變化的三角形蘊含著不變的東西，即三角形的內角和是一個固定的度數。也就是基于有過程歸納，利用合情推理（實驗操作）來探索思路，發現結論。

其次利用長方形和正方形的內角和來證明直角三角形的內角和就是180度，最后把銳角三角形和鈍角三角形轉化成直角三角形來證明，從而得出結論“任意三角形的內角和都是180度”。當然，由于最后銳角三角形和鈍角三角形的證明對于四年級的學生來說相對比較難，所以本節課的演繹推理重點證明“直角三角形內角和是180度”的結論，關于銳角三角形和鈍角三角形的內容作為拓展內容來學習。

四、有過程歸納教學的展開

（一）歸納是基于聯想的思維形式，讓學生進行有知識根據的合乎情理的想象。讓學生學會聯想是讓學生知道并學會歸納最基本的思維方法。這種在有知識基礎的和有知識根據的合乎情理基礎上的設想，使學生能借助已知產生“正遷移”引發聯想，為推理提供良好的學習氛圍。借助直觀圖形“變化的三角形”，引發猜想三角形的內角和是否是一個確定的度數，如果是一個確定的度數可能是多少，激發了學生驗證的興趣，為接下來合情推理做了鋪墊。

師：上節課我們根據一定的標準把所有的三角形都進行了分類，（出示大屏幕）這節課我們要來細致地研究三角形（板書：三角形），你覺得可以研究它的什么？（角）

師：老師這里有一個可以變化的三角形，請你仔細觀察在三角形變化的過程中，它的三個角有什么變化？（有的角在變大，有的角在變?。┻@能說明什么？

生：三角形的內角和是180度。

師：用眼睛就能看出是180度？那我們能確定什么？

生：內角和是一個固定的度數，

師：看來內角和可能真是固定的，剛才有同學說是多少來著？（板書：180度）有沒有什么問題要問他？（教師用剪刀剪一個小三角形）這個大的和這個小的也一樣？（板書：大小不同）那這兩個形狀不同的呢？（板書：形狀不同）

師：數學學習要嚴謹，要有理有據，到底是不是你們說的180度，得怎么辦？

（二）歸納推理的思維過程是動態的，促進學生經歷多種思維沉思的過程，從而歸納概括出一般結論。歸納推理的思維過程是動態的，既有直觀的實驗感知，又有理性的數學思考。分析、比較是歸納的基本思維形式。動手操作一定要與分析、比較等思維活動結合起來，跳出簡單的直觀感知層面，涉及邏輯推理論證層面。通過不斷經歷合情合理的推測，經歷形象與抽象等多種思維沉思的過程，從而歸納概括出一般結論。

師：先看學習要求。想一想你要用什么方法得到三角形的內角和？想好了嗎？有沒有想用量角器測量的舉手，老師對你們有一個要求，三個角的數據必須是實際量出來的，只要量完就不許再改了，把你量完的數據直接用水彩筆寫在每個角的旁邊。如果你用的是其他方法，把你的作品貼在學習卡1上。

師：我看到同學們都得到了自己手里三角形的內角和，接下來我們來分享自己的方法，因為每個同學手里的三角形不一樣，用的方法也可能不一樣，所以傾聽的時候不懂就問，有疑問就質疑補充，交流結束之后完善自己的方法，一會帶著自己的作品以個人的形式進行匯報。

學生匯報不同方法。

1.量。師：他量的銳角三角形，誰量的不是這樣的三角形？還有量的不是黑板上這兩種的嗎？老師調查一下，選擇測量方法的同學，你們量完之后發現問題了嗎？為什么會這樣呢？如果給你的三角形非常標準，你能保證逐個量完加在一起就一定是180度嗎？為什么不能？因為測量有誤差。

師：通過測量我們能確定什么？（板書： 180度左右）誰還有不同方法？

2.拼

（1）撕拼。師：明明是三個內角到這里，轉化成一個角了。（板書：轉化）看起來和平角很接近，那是不是一定是平角呢？平角有什么特點？看來只要是操作就一定有誤差。現在我們可以進一步確定三角形的內角和確實和180度很接近。（板書：接近180度）

（2）折拼。師：這個方法和前面的哪個方法是一回事？折的時候需要有一定的技巧和要求。

（3）多個三角形拼。師：老師這里也有個拼的方法，猜猜是誰的方法？古代有位數學家泰勒斯，他受到拼圖方法的啟發，把六個完全一樣的三角形拼在了一起，從而得到了三角形的內角和。有看懂的嗎？

生：這里有兩個角1，兩個角2，兩個3。三角形內角和也就是360÷2=180度。

師：但是在拼的過程中三角形和三角形之間是有縫隙的，因此泰勒斯也無法確定三角形的內角和就一定是180度，但他為后來數學家的研究指明了方向，三角形的內角和很可能就是180度。

3.證明。師：同樣我們剛才的研究也為接下來的學習指明了方向，就著這個方向，接下來我們來思考，能不能借助哪種我們已經知道內角和的圖形來證明三角形的內角和就是180度呢？

（1）直角三角形。師：這里有個提示，可以在學習卡畫一畫，老師給每個小組準備了一個信封，里面有直角三角形，可以拿出兩個完全相同的直角三角形先標上角再擺一擺。

生獨立學習并匯報。

師：有疑問嗎？那這兩個直角三角形的內角一共是6個內角，這6個內角跟長方形的4個內角有什么關系？怎么能確定其中一個直角三角形的內角和就是長方形一半的呢？

師：我們根據長方形的內角和推理計算出任意直角三角形的內角和。（板書：計算推理）這個直角三角形的內角和是180度，其他直角三角形呢？

（2）銳角、鈍角三角形。師：銳角三角形、鈍角三角形怎么說明它們的內角和？能不能借助已經知道的直角三角形的內角和來推算出來呢？同桌兩人研究一種圖形，另外兩個同學研究另一種。

師：老師看很多同學遇到了困難，可以抬頭看看大屏幕上老師給的提示。誰看懂了？

生：銳角三角形通過作高，其實可以看成兩個直角三角形的內角和減去合并在一起的兩個直角，所以銳角三角形的內角和是180度。鈍角三角形也是一樣的道理。

師：我們也證明出了銳角三角形和鈍角三角形的內角和?，F在可以得到什么結論？

生：我們研究三角形的內角和都是180度。

（三）歸納推理的思維基礎是類，通過類來促進學生形成由個別到一般的不完全歸納思維。由于完全歸納推理具有局限性和不可實現性，尤其是需要歸納推理的數量過于龐大，如果遵循完全歸納推理原則，就需要調查所有的三角形，這是一種不實際的推理原則。不完全歸納是相對完全歸納而言，不完全歸納推理是統計推理歸納中比較常用的一種方法，在集合中有每個類中具有代表性的元素，從而歸納概括出一般結論的同時，形成由個別到一般的歸納思維。

師：說說我們到目前為止得到的研究結論吧。不對呀，我們才研究不到40個吧，怎么能直接說三角形都是這樣呢？需不需要把世界上所有的三角形都拿來一一研究呢？

生：把這三類三角形分別研究一些，就可以代表所有三角形了。

師：我們由30多個個別的三角形來推出一般的所有三角形的內角和很可能就是180度，這個過程在數學上被稱為歸納推理，這是我們在數學學習中經常用到的方法。（板書：歸納推理）

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Promote Students Thinking Development based on Process Induction

——Taking the Sum of the Inner Angles of a Triangle as an Example

SUN?? Yanjun

（Primary school affiliated to Northeast norma I university， Changchun? Jilin 130000， China）

Abstract： A process of inductive teaching is based on the concept， the pursuit of truth， is to discover knowledgeteaching. This paper takes the sum of the inner angles of atriangleas an example to illustrate that induction is a thinking formbased on association， so that students can have reasonable imaginationbased on know ledge. The thinking process of inductive reasoning isdynamio， which promotes students to exper ience the process of thinkingmeditation， thus generalizes the general conclusion. The thinking basis ofinductive reasoning is class， which can promote students to formincomplete inductive thinking from individual to general.

Key words： process induction; teaching induction; triangle

[責任編輯：王 辰]

收稿日期：2020—01—05

作者簡介：孫艷君（1984—），女，江蘇徐州人，東北師范大學附屬小學教師，小學高級教師，碩士。吉林省小學數學骨干教師，2019年省培計劃省骨干培訓班學員。研究方向：數學教育。