高等數學課堂的互動教學實踐

張春玲 胡松

摘 要 針對目前大學數學課堂的消極現狀，以及互動教學中存在的問題，以高等數學的重要知識點“復變函數積分”為例，強調指出老師在高數課堂互動中的作用，高數課堂互動教學實施的關鍵，互動教學中學生思考的時間分配，以及多種教學模式應用的重要性。

關鍵詞 互動教學 復變函數 高等數學 問題設置

Abstract In view of the current negative situation of college mathematics classroom and the problems existing in interactive teaching， taking the important knowledge point of higher mathematics "complex function integral" as an example， this paper emphasizes the role of teachers in the interaction of high mathematics classroom， the key to the implementation of interactive teaching in high mathematics classroom， the time allocation of students' thinking in interactive teaching， and the importance of the application of various teaching modes.

Keywords interactive teaching; complex variable function; advanced mathematics; problem setting

高等數學是大學教育必不可少的基礎課程，它與社會科學的各個領域均有著不可分割的聯系。但高等數學本身具有高度的抽象性，學生學習的積極性不高，直接影響了大學數學的教學效果。[1]除此之外，教師的教學方法也是影響其教學效果的重要因素。

當前，數學教學的模式多種多樣，如目標式教學、問題式教學、情境式教學、啟發式教學等等。[2]但無論采用何種教學模式，教師都是數學學習的倡導者、組織者，應盡可能給學生提供參與數學互動學習的機會，引導學生自主探索、合作交流，在掌握數學的基本知識、理解數學思想方法的基礎上，培養學生的創新能力，使其真正成為數學學習的主人。而培養的學生探究能力，并進一步促進培養學生的創新能力的有效途徑之一就是“互動”。[3]互動式教學已成為廣泛采用的教學方法，但相對于傳統教學，其需要教師投入更多的精力，很多教師并不能長時間堅持實施。而且很多互動環節的設計，只體現了師生互動，缺少了學生與學生之間的互動，設計的問題也趨于形式化。[4]這些都漸漸地使學生喪失了問題的探究能力，從而缺乏創新意識。

本文以高等數學第四冊中“復變函數積分”為實例，給出高等數學課上中，互動式教學方法的關鍵點，包括教師在高數課堂互動中的作用，高數課堂互動教學實施的關鍵，互動教學中學生思考的時間分配，以及多種教學模式應用的重要性。

1 教師——互動教學中的優秀編導和最佳配角

教師應是每堂課的優秀編導，而且是高數課堂互動式教學過程中的最佳配角。這意味著教師在備課環節，要吃透教材，備課時就設計好哪個環節互動，以什么形式互動，互動的角色安排，以及互動中可能出現的各種問題，并提前想好應對課堂上突發狀況的對策，而并不是成為課堂互動活動的主角。

如，在講授知識點“用參數法求復變函數積分”時，筆者在講解求解步驟的基礎上，給出以下練習題“求積分，積分路徑分別為①直線段;②左半單位圓周;③右半圓周”，使學生給出答案，并仔細觀察結果后給出自己的想法。有學生提出了這樣的問題：沿著三個路徑的積分都是0，是偶然還是必然？對于此問題的解答，可充分調動學生的能動性，先讓學生相互討論后，給出自己的解答，并請有不同意見的同學進行推理辯論。如果學生不能有效給出確定結果，教師可給出適當提示，如“嘗試多個積分路徑，并考慮積分函數z的性質”;在學生給出“必然”的結論時，教師可進一步引導學生考慮與的區別。使學生動手驗證積分函數解析性的基礎上，總結得到“解析函數的積分與路徑無關”。通過有效調控和引導，不僅完成了教學內容的要求，更能提升學生數學學習的成就感，提高學習積極性。

2 問題——互動教學的心臟

典型問題探究是數學學習的核心點，在高數課堂的互動教學中，問題也是培養學生探究能力的心臟。[5]有以下三方面作用的數學問題，才能堪稱好問題：（1）能夠使學生體會到數學學習是一種自主創造式學科的問題;（2）不但有利于學生理解數學，而且也要有助于學生理解科學的問題;（3）能夠使學生體會到“數學是借助于觀察和類比，進而引導發現的科學”。[5]因此，在互動教學中，合理設置行之有效的數學問題，是取得良好互動效果的重要保障。

例如，在“復圍線下的柯西積分定理”教學中，我們常用到如下的問題：計算復圍線積分，此處C是圓周。這道題在講解柯西積分定理應用時經常用到，但單純就題論題，應用該題求解積分，不能很好地起到提高學生的探究能力的教學效果。首先，如果積分區域如果為橢圓或其他不規則圍線，結論是否同樣適用;其次，如果不是同時包含兩個奇點，情況又如何呢。因此，筆者在教學中將圓周改為“包含？的圍線”“包含1，但不包含-1的圍線”及“包含-1，但不包含1的圍線”三種條件。提出下列問題：（1）積分區域包含一個奇點時，復圍線定理如何應用;（2）積分區域是圓周時，結果是否有影響;（3）積分區域內奇點的個數對積分結果有什么影響。針對這些問題，在教師引導下，學生可自行解決問題（1）和（2），而問題（3）可作為培養學生深層次探究能力的導火索。在完成教學要求的基礎上，設置合理的問題，才能更加激發學生對數學的興趣和思考。

3 思考時間——互動教學有效實施的鑰匙

數學的應用即是再創造，而學習現成的數學不可能培養學生的再創造能力。[6]在傳統教學模式的課堂中，把本節教學任務完成，并解決所有本節課中的問題，即是達到了基本的考核指標。而對于互動式教學，學生可以通過互動探究活動，拓展自己的思維空間，從而迸發出各種問題的火花，而且學生提出的很多問題往往需要預留一定的思考時間，才能更有效地得以解決。

例如，利用柯西積分公式，求解積分中，已知，C為正向圓周，求的值。這個問題，雖然考察的知識點顯而易見，即是柯西積分公式，但對于其中隱含的函數形式，還需要學生在教師的指導下課后去探究。教師應當引導學生先認真觀察該積分形式與高階導數公式的異同點，然后可以提示學生，充分考慮柯西積分公式的應用條件。這樣，給予學生足夠的探究時間，讓學生在課下充分思考，他們在驗證“變量1+i在積分區域內”的前提下，可以想到將柯西積分公式進行變形應用，得出函數的函數形式，進而求得其導函數，帶入變量1+i求值。而且，在此探索求解的過程中，學生在充足的思考時間內，反復驗證高階導數公式的應用前提，探究其變形應用的可能性，使得學生對該知識點進行了有效拓展，擴充了自己的思維空間。

4 教學模式——互動教學成長的搖籃

互動教學模式有很多種。師生互動能夠突出重點;生生互動可以通過學生與學生之間的辨析討論，拓展學生的思維空間，加深對知識的理解;而分組互動能夠使不同層次的學生在高數課堂上互幫互學互促互進，更便于教師邊教學邊培優補差。因此，在實際教學過程中，采用師生互動、生生互動、分組互動，還是采用其他行之有效的互動教學模式，應依據教學對象、課堂教學內容，以及每堂課的教學難度而有差別地選擇合適的互動模式。并且，高等數學是本科生普遍感覺較難學的課程，其中有很多題目難度較大，而且求解繁瑣，即使順利求得解，也很難直觀地理解解的分布及其物理意義。目前，多數數學教師主要利用PPT課件展示的形式，進行日常教學活動，其特點是能夠方便直觀地進行展示，但在課堂教學的互動活動中，只單單利用PPT課件這一種教學載體，會使學生感覺單調乏味，缺乏新意，從而很難激發學生參與課堂互動的積極性，21世紀是一個信息時代，教師應鼓勵學生利用信息手段自主學習，自動學習，即學生可以在學習活動中，在教師的指導下發揮自主性和創造性。

比如，我們可以用數學工具軟件Matlab很方便地求解復變函數積分，例如求積分，C是逆時針方向的圓周：|z|=2時，由于在Matlab中，求解函數的留數很簡單，因此積分計算可以轉化為先求被積函數的留數：

在此過程中，學生可以在教師指導下，自主操作，自己動手實踐，并可以相互討論，真正實現師生互動、生生互動以及小組互動。

5 結語

教師的角色扮演及問題合理設計是高等數學課堂互動教學取得有效效果的關鍵因素，同時，互動模式下的高等數學教學需要給學生安排合理的探究和思考的時間，此外，要想取得良好的互動效果，選擇合適的互動模式是一種有力保障。教師可以根據學生的實際只是水平，因人而異地提出不同的要求，從而保證每個學生都能在力所能及的情況下，按時完成對新知識的探究。要想培養全新型人才，不能單一地采用一種互動教學模式，只有在教學過程中，有機地、合理地綜合運用各種教學模式，才能真正做到教書育人。

切實有效地利用好互動式教學，能夠使高數教學活動充滿活力，通過學生之間的辨析討論、師生之間的引導探究，達到去偽存真的教學效果。同時，在教師充當最佳配角，學生帶著問題，充分發揮自己的主觀能動性，以合作交流、分組討論等多種方式以達到思想、情感和信息的交流和啟發，從而拓展學生思維，培育學生發現問題、解決問題的能力，進而提高學生的學習自信心。

參考文獻

[1] 肖厚國.淺析大學數學教學現狀及其改進策略[J].數學學習與研究，2016（14）：3-4.

[2] 李祎.數學教學方法論[M].福建教育出版社，2010：387.

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[4] 趙成飛.淺析數學課堂教學中師生互動存在的問題及對策[J].新校園：理論版，2012（3）：191-191.

[5] Polya G.數學的發現[M].上海譯文出版社，2006：476.

[6] Freudethal H.陳昌平.作為教育任務的數學[J].數學教學，1995（2）：40-40.