“二次函數(shù)背景下等角問題”教學(xué)探索

江同營

【摘 要】 二次函數(shù)背景下角相等的“存在問題”知識涵蓋面廣，綜合性強，考查能力多，具有相當(dāng)?shù)纳疃扰c難度。二次函數(shù)背景下角相等“存在問題”的基本特征是在一定條件下一個角與已知角相等或互余的結(jié)論是否存在，這類題目對能力的要求比較高，廣泛運用于中考的拉距與選拔題上，如何不用題海戰(zhàn)術(shù)，讓學(xué)生真正掌握解決這類問題的方法，是值得我們探討的問題。本文就以實例對二次函數(shù)背景下等角問題的教學(xué)進行探索。

【關(guān)鍵詞】 二次函數(shù);等角問題;教學(xué)探索

二次函數(shù)背景下是否存在角相等的問題的知識涵蓋面較廣，綜合性較強，考查能力也較多，具有一定的深度和難度。二次函數(shù)背景下是否存在角相等的問題，其基本特征是在一定條件下一個角與已知角相等或互余等的結(jié)論是否存在，常見的敘述語言是“在二次函數(shù)的圖像上是否存在……，使得……？如果存在，請求出xx點的坐標（或xx的解析式），如果不存在，請說明理由”。根據(jù)分析，此類問題通常分為兩大類型解題，一類是由位置關(guān)系確定的“存在性問題”，要求尋找的是滿足特殊位置關(guān)系方面的要求，例如等腰三角形中等邊對等角，另一類則是由數(shù)量關(guān)系確定的“存在性問題”，要求尋找一個特殊數(shù)量關(guān)系方面的要求，比如點的坐標等。這類題目對能力的要求比較高，廣泛運用于中考試卷的拉距與選拔題目上，如何不用題海戰(zhàn)術(shù)，讓學(xué)生真正掌握解決這類問題的方法，是值得我們探討的問題。

【探索目標】

1.探索二次函數(shù)背景下的等角問題。

2.體會數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想在解題中的運用。

3.在解決問題的過程中，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

【探索過程】

一、例題研討

如圖1，拋物線的圖像與直線y=x+1交于點A、C，直線y=x+1與y軸交于點D，過C作CB⊥x軸于點B。

問題1：設(shè)點P是x軸上的一個動點，如果∠BPC=∠ADO，請畫出滿足條件的示意圖，并直接寫出點P的坐標。

【設(shè)計意圖】將題目中的已知代數(shù)條件轉(zhuǎn)化成幾何圖形條件，發(fā)現(xiàn)圖形中隱含的信息，為解決之后的問題做鋪墊，同時注意點在線上運動時是否會產(chǎn)生不同情況。

問題2：設(shè)點P是x軸上的一個動點，如果∠BPC=∠COD，請求出點P的坐標。

【設(shè)計意圖】首先，畫圖是學(xué)生的弱項，以這題為載體進行訓(xùn)練。其次，通過角的改變，探索解決等角問題的方法。

此題屬于較基本、較典型的常見題型，我們可利用此題二次函數(shù)的“背景”進行變式嘗試，變式后的題目如下：

變式1：設(shè)點P是直線y=x+1上的一個動點，如果∠BPC=∠COD，請求出點P的坐標。

變式2：設(shè)點P是拋物線上的一個動點，如果∠CBP=∠OCD，請求出點P的坐標。

【設(shè)計意圖】通過點P位置的變化（由在直線y=x+1變?yōu)樵趻佄锞€上）和角的變化（由∠BPC=∠COD變?yōu)椤螩BP=∠OCD），讓學(xué)生感受圖形雖然略有變化，但是解題的思路方法沒有變化，這樣的變式更凸現(xiàn)了本題的重點，提高了思維的“質(zhì)”，通過一系列的變式訓(xùn)練幫助學(xué)生對問題理解得更加深刻，從而提高學(xué)習(xí)的效率。

二、小結(jié)提升

教師引導(dǎo)學(xué)生進行分析思考小結(jié)：

1.可以從哪幾個不同的角度解決二次函數(shù)背景下的等角問題？（平行線的同位角、內(nèi)錯角相等，等腰三角形的等邊對等角，相似三角形的對應(yīng)角相等，全等三角形的對應(yīng)角相等）

2.在解決問題的過程中要注意些什么？

三、探索思考

本節(jié)課的教學(xué)重點是探索二次函數(shù)背景下的等角問題的求解方法。教學(xué)難點是如何轉(zhuǎn)化二次函數(shù)背景下的等角問題。在教學(xué)設(shè)計上遵循以下思路：

1.思考方法的指導(dǎo)。引導(dǎo)學(xué)生在解決問題時，先要確定點P的位置、畫出示意圖，再觀察等角的大小和位置關(guān)系，如果在不同三角形中，可以尋找相似三角形，利用對應(yīng)邊成比例求解，如果其中一個角的三角比可求，那么可以尋找或者構(gòu)造直角三角形，利用三角比求解。

2.由易到難，逐級而上。例題的安排從簡單入手，點P先是位于坐標軸上，然后位于直線AC上，最后位于拋物線上，利用圖形中隱含的條件把等角轉(zhuǎn)化到相似三角形或者直角三角形中。通過角的不同和點P的位置變化，使學(xué)生積累解題經(jīng)驗。

解決二次函數(shù)背景下角相等是否存在問題的一般思路是，先假設(shè)存在，把存在這一結(jié)論作為條件進行分析、研究、推理，接著進行精密計算，如果能夠推出一個合理的結(jié)果，那么假設(shè)成立，如果得不出結(jié)果，或者結(jié)果和邏輯矛盾，那么假設(shè)就不成立，最后得出結(jié)論。解決二次函數(shù)背景下角相等的存在問題，可以從平行線的同位角及內(nèi)錯角相等、等腰三角形的等邊對等角、相似三角形的對應(yīng)角相等以及全等三角形的對應(yīng)角相等諸多角度進行思考并給予解決。在解決問題的過程中，要注意分類討論、類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。

二次函數(shù)綜合題涉及的知識面廣，思想方法多，對學(xué)生分析問題、解決問題的能力要求較高。本節(jié)課基本做到了拓展同學(xué)的解題思路，將等角問題轉(zhuǎn)化到直角三角形、相似三角形或者等腰三角形中。

四、跟蹤訓(xùn)練

如圖2，二次函數(shù)的圖像與x軸交于點A、B，與y軸交于點C。

（1）求頂點D的坐標;

（2）若點是y軸上的點，將點Q繞著點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)90度得到點E，當(dāng)點E恰好落在該二次函數(shù)的圖像上時，求t的值;

（3）在（2）的條件下，連接AD、AE，若M是該二次函數(shù)圖像上的一點，且，求點M的坐標。

【參考文獻】

[1]葉興君.二次函數(shù)題—角相等的“存在問題”[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)，2015（7）.

[2]郭小麗.二次函數(shù)中的角度相等問題（初三）[J].數(shù)理天地：初中版，2018（12）.

[3]宋盛華.中考二次函數(shù)與“存在性問題”的探究[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2011（07）.