妙用“鄉土資源”，巧促數學課堂有“文化”

張純

摘? 要：學生在成長歷程當中不能缺少的是數學教育，但數學教育真正引領其發展的是“文化”，故而小學數學課堂教學離不開“數學文化”。對于農村的小學生來說，“鄉土數學”是引領學生形成鄉土文化的主要資源。筆者從概念界定到教學設計，再到具體的案例，詳盡闡述了“鄉土數學”促進學生課堂“數學文化”的形成。由此，學生的數學觀念、意識和思維方式等深刻影響著當下及今后的生活品質，讓學生的思維在看得見中飛翔，真正體現了數學核心素養：數學思維能力。

關鍵詞：數學文化;數學思維能力;鄉土數學

數學作為一種主要的智力活動的傳統是必須傳給后代的人類文化遺產中的最好部分，它被滲透到各個領域之中，影響著人類的文化生活。正如《數學課程標準》（2011年版）中指出“數學是人類文化的重要組成部分……發揮數學在培養人的思維能力和創新能力方面的不可替代作用”。在教學中加強數學與農村兒童實際生活的聯系，通過獲得的“鄉土數學”，在課堂中交流與闡述，并在教師引導下尋求與課本數學內容中相符的教學內容進行匹配，體會數學知識的形成過程，了解數學與人類社會發展的相互作用，讓學生從內心深處體會數學的應用價值、人文價值，開闊視野，尋找數學進步的歷史軌跡，領會數學的應用價值，從而提高自身文化的價值和創新意識，進而感悟到我們所學習的數學來源于生活而又高于生活，萌生出要學好數學，為自己的生活更好地服務的想法。

一、概念界定

鄉土數學：泛指農村普通百姓口耳相傳，以數學模型的形式描述農村生產、生活中的某些現象或事物，具有趣味性、模型性、開拓性、思維啟發性等方面的內容。其在生產、生活中經歷長久的實踐檢驗，具有經典性，普通百姓拿來就能解決對應的實際問題。如：“雞兔同籠”問題：板凳、鏊子三十三，一百條腿向上翻，板凳、鏊子各幾個？

促進：泛指幫助，提供橋梁、搭建腳手架等。幫助學生利用鄉土數學資源更好地學習數學，更好地接受數學教育，從而提升數學素養;幫助教師具備開發與利用課程資源的能力與意識，最終達到師生在原有的基礎上都獲得提高。

數學文化：指從文化角度理解數學。本課題所述的“數學文化”是通過課堂教學對學生的數學觀念、意識和思維方式等產生深刻影響，給予學生當下及今后精神生活品質特有的一種精神和力量。

課堂數學文化：指通過課堂這個空間或時間的載體，教師和學生相互作用的教學行為，把獲得的“鄉土數學”在課堂中與課本數學無縫對接，在促進學生數學學習、接受數學教育的實地操作過程中創造出物質及精神產物的過程所形成的一種課堂數學的思想、精神、觀點等。

《數學課程標準（2011年版）》指出，“數學是人類文化的重要組成部分……更要發揮數學在培養人的思維能力和創新能力方面的不可替代的作用”。當下小學數學課堂教學，絕大部分教師只注重知識的傳播和解題技巧的訓練，沒有從文化的角度切入，故而學生面對的數學是符號與數字的堆砌，顯得枯燥乏味，即使學生有想學好數學的欲望，也味同嚼蠟，難以下咽，只好放棄。那些數學考試分數較高的學生，只是在解題上表現比較突出，當他們離開課堂后，對生活、對生活中的數學卻顯得沒有多少靈氣，不能體現出較好的數學素養，同時也沒有提高其精神生活品質。

總之，讓數學文化走進小學課堂，深入數學教學實踐中，努力使學生在數學學習過程中受到文化熏陶，產生文化共鳴，體會數學的文化價值，是實施新課程標準，彰顯數學文化魅力的有效途徑。學生在生活中采集鄉土數學時，慢慢地學會了用數學的眼光審視生活，從數學的角度切入生活并進行分析，感受生活中處處有數學，使學生在獲得數學知識技能的同時，在過程與方法、情感與態度以及價值觀上得到全面和諧的發展。

二、數學文化體現案例設計思路

基于數學文化的數學教學案例設計思路是：從數學本質即數學文化的本質出發，通過建立數學與數學史、數學應用、社會文化及地方民族傳統等的聯系，將數學本質與學生主體經驗相聯系，即學生的主體經驗包含于數學史、社會文化、地方傳統等，再即數學史、社會文化、地方傳統等包含于數學水平，如果把它們看成三個圓的話，數學水平最小，學生主體經驗最大，它們并非同心而是相內切的。由此，讓學生感受到數學學習的開放性以及向其他領域的廣泛滲透性，體驗到資源對其經驗的支撐，領悟到學習者之間的互動交流對于知識建構的意義，進而體驗到“數學本質上是一種文化”，從而使學習者達到對數學學習的深刻文化陶醉與心靈提升。

根據這樣的思路，基于數學文化設計的教學案例的理念是：過去學生的數學學習都是被動地吸收，至于能否消化是學生自己的事情，于是出現了“2·8”兩級現象，即僅有百分之二十的學生能理解，百分之八十的學生由于消化不良而形成了嚴重的“結石”。現如今，學生的主體地位得到日益重視，課堂學習的主體不再是教師而是學生，因此教育回歸本身應有的“本性”——“人性”，這種“人性”是把學生當作人來對待而不再是機器，不僅關注學生的當下，還要關注學生未來的發展，不僅關注個體的發展，還要關注社會性的存在。所以，教學不僅要關注數學知識的建構與理解，還要關注個體的生活、生命和持續的發展。

三、教材中的數學文化體現案例

小學數學教材中蘊含著許多的數學文化內容，對學生思維的啟迪、對學生視野的開拓、對學生能從數學視角思考生活問題等有著極大的推進作用，能讓學生認識到數學的理性精神、認識數學內蘊的美、認識數學的哲學邏輯等。正因為有數學文化內蘊其中，才讓學生所學的數學是有用的、發展的，讓學生的學習精神慢慢理性起來，讓未來的數學人生理性起來。教材中的一些內容與鄉坊的生活或鄉坊故事有著千絲萬縷的關聯，失去鄉坊的生活或故事就會黯然失色。

1. 對頂角相等，要不要證明？

小學數學四年級上冊的《垂線與平行線》內容是在充分認識線段及角與長方形、正方形的基礎上進行學習的。這些初步的幾何知識初步構建了學生的幾何世界，而垂線與平行線的學習，推動了學生對角的深層次的認識，即對角的認識不僅僅局限于“由一個頂點和兩條邊組成，或者由一點發出的兩條射線”，而是擴大到“兩條線相交所形成的角”。兩條線無論是否垂直，只要相交就有夾角，這些夾角之間又存在著怎樣的幾何關系呢？這就是以后要給學生解釋的“對頂角”的問題。對頂角，顧名思義就是有一個共同的頂點，角的兩條邊逆向延伸所形成的對頂角是否相等呢？處在教師的場域中，應思考為什么教？教什么？怎么教？處于學生的立場來審視則是：為什么會出現這樣的角？形成的緣由是什么？對頂角是否相等？僅僅依靠眼睛觀察、儀器測量，是無法避免誤差的存在的。如果說“對頂角相等”，那要不要論證呢？

初級中學涉及對頂角的內容中，對“對頂角相等”是這樣證明的：從互補的角度出發，其中的兩個角都與同一個角互補，則這兩個角相等，即對頂角相等。其作為一個定理在解決幾何問題時使用。但對于小學生來說，這種證明實在欠妥，測量又存在誤差，那最好的路徑便是從文化的角度來介紹對頂角。

“兩條直線相交形成的對頂角”用眼睛觀察是相等的，但這是一種臆測，也可以說是一種假設。如果學生在思考時叩問自己：怎樣才能證明對頂角相等，這就接近了數學文化。每個民族都有自己的文化，也有屬于這個文化的數學。“對頂角相等”首先是古希臘的泰勒斯進行證明的，放到今天，證明非常簡單，就算是小學四年級，只要學生具備了等量的數學知識，同樣可以證明出來，但是其產生的原因是否可知就不好說了。那么，我們就從鄉坊讀書較多是人所傳說的有關“對頂角”的故事說起。

古希臘人追求民主、平等與自由，于是就有了世界上最早的選舉活動。要選舉與表決，就要有充足的理由去說服對方，也就需要拿出充分的證據去證明自己持有的觀點是正確的，證明自己堅持的是真理，由此產生極強的說服力。“對頂角相等”是正確的，還要讓其產生說服力變成“公理”，使其在“等量減等量，其差相等”的基礎上變成理性思維。中國古代同樣是百家爭鳴、百花齊放，有人游說某個國家的君王，讓君王相信自己的假說，從而成為該國的政策顧問，使自己的“公理”得以施行（即向君王提供管理國家的數學方法）。其中具有代表性的是《九章算術》，其內容涉及了土地的丈量、勞力分配、稅收的計算等。因此，中國的數學可以說是“社會管理學”或“管理數學”。

根據以上分析得知，古希臘人在數學上長于“理性分析”和“推理”，而中國數學工于計算，因此由“對頂角相等”學習西方的“理性”，也不失東方的“實踐”。

2. “0”是否是自然數的文化論證

一年級學生在認識數時會遇到一個數字“0”，那時學生思維中的“0”是沒有的意思，因為認數的基礎是從實物開始的。古人打獵歸來，打到一只兔子會在草繩上打一個結，抓到兩只野雞會在草繩上打兩個結……這就是我們所說的“結繩計數”。但不是每天的運氣都那么好，古人同樣也有打不到獵物的時候，此時該如何在草繩上打結呢？打結表示獲得獵物，不打結表示沒有獲得獵物，但這一天又實實在在出去打獵了，怎么辦？在創造出1、2、3、4、5、6等數字后，我們必須再創造出一個數字——“0”。因為“0”同樣是在自然生活中產生的，所以它應歸為自然數行列。隨著學生認知能力的提高，“0”作為度量的起始點，與剛才所說的“沒有獲得獵物”是不相同的，教師在教學中應知道“為什么教”，在潛移默化中讓學生知道“為什么學”，而這就要求教師執有數學文化觀。文化其實體現在一個人如何對待他人，如何對待自己，如何對待自己所處的環境。用臺灣作家龍應臺的話說，“它是隨便一個人迎面走來，他的舉手投足，他的一顰一笑，他的整體氣質。他走過一棵樹，樹枝低垂，他是隨手把樹枝折斷丟棄，還是彎腰而過？一只滿身是癬的流浪狗走近他，他是憐憫地避開，還是一腳踢過去？電梯門打開，他是謙恭地讓人，還是霸道地把別人擠開……”。文化是內在的修養，當你看到一條數學定理的時候，你的腦海里會浮現出古人的身影，產生敬畏之心，當你思考問題的時候，你會關注里面的字母是常量還是變量;當你在打開一本書，發現里面有一行又一行的符號時，你依然認真地讀下去，在一連串的變換之后問題得解，而由衷地感嘆數學之美……

但是，很多人認為數學文化就是數學本身，把會做題，思維得到訓練視為文化，而這只是數學文化的一部分，因為數學本身承載著數學文化。數學考試成績的確很重要，但對于一個人來說，真正起到數學教育作用的是數學文化。正如愛因斯坦所說，“什么是教育，那就是當一個人離開學校十年、二十年之后沉淀下來的東西”。這個沉淀下來的東西，就是文化。數學亦是如此。說某個人有文化，和說這個人是文化人的意義是不同的。有文化只說明他能讀書識字，而文化人卻在前者的基礎上加深了文化性的體現。作為數學教育工作者，我們必須明白，數學文化不能在解題之中自然形成，進行必要的正面闡述、主動揭示、有意義的誘發引導，是我們倡導中外優秀文化的責任。

3. 游戲背后的“運籌學”

農村的孩子特別愛玩具有農村風味兒的游戲，在游戲當中學習數學是常有的事兒。好多游戲中都蘊含著數學知識，比如孩子們經常玩的接力賽跑。事實上，接力賽跑和“田忌賽馬”是一脈相通的。接力賽跑通常是體育課上教師有意識安排的體育項目，但在孩子們課后玩耍的游戲中也時常會有誰跑得快的游戲。教師在教學時引入“田忌賽馬”的故事，學生便會產生相關的生活體驗，并把這種體驗帶到數學課堂學習之中，進而對形成課堂數學文化產生一定的促進作用。齊國大將田忌與齊王賽馬，勝者可贏千兩黃金，軍師孫臏發現好友田忌的馬與齊王的馬快慢差不多，他們的馬都分為上、中、下三等，于是孫臏對田忌說你只管往大了下賭注，我定會幫你獲勝的。田忌相信孫臏的話下了大賭注。比賽即將開始，孫臏告訴田忌，“比賽中首先用你的下等馬對齊王的上等馬，其次用你的上等馬對他的中等馬，最后用你的中等馬對他的下等馬”。三場比賽結束后，田忌一敗兩勝，取得了最終勝利，田徑從齊王那里贏得了千兩黃金。“田忌賽馬”的基本思想是要用局部的犧牲去換取全局的勝利，從而達到以弱勝強的目的。學生在游戲當中經常遇到類似“田忌賽馬”的情形，特別對于農村的孩子來說，這樣的情形尤為常見。而在課堂教學中，同樣也有蘊含這種“思想”的故事、習題出現，最常見的便是應用題中的“追及”問題。這樣的游戲、習題所涉及的知識，其實就是選擇策略方面的“博弈論”，也稱“對策論”。在博弈、對策中選擇策略至關重要。“博弈”綜合下的一般表述體現的是“運籌”，由此形成了一門新興學科——運籌學。“運籌帷幄之中，決勝千里之外”，語出《史記：高祖本紀》：“帝置酒洛陽南宮……高祖曰：‘公知其一，未知其二。夫運籌帷幄之中，決勝于千里之外，吾不如子房……”劉邦說自己策略、軍事、安撫等方面不如子房、蕭何、韓信，所以有“運籌中……千里外”。

小學階段，學生并不需要學會并掌握“運籌學”等內容，但卻可以對運籌學的誕生背景與發生、發展情況有一個詳細的了解。當數學課堂中出現類似的“博弈”情況時，學生就能擁有“運籌”思想的雛形，這就是學生在數學課堂中形成一種思想認識的具體體現，也可以說是課堂“數學文化”。

四、結論

當農村的學生進行數學學習時，如果在課堂中體現與實踐“鄉土數學”，學生的視域與心域將會截然不同。數學文化走進小學課堂，深入數學教學實踐中，在小學階段讓學生了解數學與人類社會發展相互作用，體會數學知識的形成過程，體會數學的應用價值、人文價值、開闊視野，尋找數學進步的歷史軌跡，受到優秀文化的熏陶，領會數學的美學價值，從而提高自身的文化價值和創新意識。培養學生站在數學立場上，以數學思維，從獨到的數學視角來剖析問題、解決問題，改變了過去數學課堂中單純以“本”為“本”進行系統的知識教學，而不關注學生的生活以及數學的形成與發展過程，不注重現有資源的開發與利用等狀態。利用“鄉土數學”促進數學學習并形成自己的數學思想方法觀，自我實施數學教育，對學生的終身數學學習來說有很強的前瞻性，能使學生在獲得數學知識的同時，接受數學精神、數學思想和數學方法的熏陶，提高思維能力，鍛煉意志品質，并把它們遷移到學習和生活的各個領域中。