趣題引領(lǐng)探究樂 師生共研有驚喜

廣州大學附屬中學(510006) 朱驚濤

數(shù)學問題有好的問題和不好的問題之分,好的數(shù)學問題應(yīng)有利于學生鞏固數(shù)學核心知識,訓練數(shù)學基本方法,領(lǐng)悟數(shù)學基本思想,激活數(shù)學直覺思維和邏輯思維[1].教師應(yīng)有意識的選擇或提出好的數(shù)學問題作為學生探究的對象,不僅可以發(fā)展學生的核心素養(yǎng),也能夠提高自身的專業(yè)水平.以下是筆者在高三教學中遇到的一道有趣的題,并圍繞它,師生共同開展探究的歷程.

1 由一道題引起的推廣、證明及猜想

在一次套卷練習中,師生遇到這樣一道題:

問題1(河南省洛陽市2017 屆高三第三次統(tǒng)一考試數(shù)學文科) 如圖1,四邊形ABCD為直角梯形,∠ABC=90°,AD//BC,AB=,AD=10,BC=20 若AB邊上存在一點P,使得∠DPC最大,則AP=______.

圖1

其解法之一如下：以A為坐標原點,直線AB為x軸,直線AD為y軸建立直角坐標系,設(shè)點則因為所以∠DPC ∈(0,90°],當時,∠DPC=90°達到最大,所以

筆者反思此題的設(shè)計十分湊巧,若∠DPC可以是鈍角,又該如何解決?有感此問題的有趣,筆者對問題1 進行了推廣研究,把條件簡單改變后得到以下問題：

問題2如圖2,四邊形ABCD為直角梯形,∠ABC=90°,AD//BC,AD=1,BC=2,AB=3,若AB邊上存在一點P,使得∠DPC最大,則AP=______.

圖2

以下是筆者對該題的初步思考：

解由問題1,用同樣方法建系,設(shè)P(x,0),0≤x ≤3,則①.易知當x=1 或x=2 時,cos ∠DPC=0,∠DPC=90°;1＜ x＜2時,cos ∠DPC＜0,∠DPC為鈍角,故為使∠DPC最大,x應(yīng)在1 到2 之間.但要求①式的最值不容易,例如用求導法就過于復雜.

考慮到此題頗有意義且會對學生構(gòu)成挑戰(zhàn),筆者在班上開展了一次有獎?wù)鞔鸹顒?宣布對第一個解出來的同學獎勵10 元,第二到第五個獎勵5 元,于是同學們躍躍欲試……