構建“數學模型”,求解“最小值”問題

江蘇省海門市能仁中學(226100) 仇建新

關于用數學模型方法處理實際問題的過程,可以用圖1表示.

圖1

其一,了解經典數學幾何模型——“胡不歸”模型的相關背景:相傳一個身處異鄉的小伙子,得知父親病危的消息后便日夜兼程.然而,當他氣喘吁吁地趕到父親面前時,老人剛剛咽氣！周圍人告訴他,在彌留之際,老人不斷喃喃地叨念“胡不歸、胡不歸?”

早期數學家曾為這則古老傳說中的小伙子設想了一條路線(如圖2),A是出發地,B是目的地,AC是一條驛道,而驛道靠目的地的一側是沙土地帶.為了急切回家,小伙子選擇了線段AB.但是,他忽略了在驛道行走要比在沙土地帶行走更快的因素.若他事先設計一條最合適的路線(盡管該路線長一些,但速度可以加快),是可以提前抵達家門口的.那么,他該選擇哪條路線呢?

圖2

其二,由現實情境抽象并構建“胡不歸”數學模型,總結與歸納一般求解步驟及其依據:假設在驛道、沙地上行走速度分別為v1,(v1＞v2),在AC上任取一點D,設小伙子從A行走到D的路程AD,然后從D折往B路程為DB,則由A-D-B累計時間:.故此類問題關鍵在于如何找出點D,使得的值最小,這即是古老的“胡不歸”問題.為此,我們歸納求解其“最小值”問題的一般步驟:

圖3

第一步,在AD的一側、BD的另一側(如圖3),設法構造一個銳角α,使得

第二步,過點B作新構造銳角α一邊的垂線,垂足為點F,該垂線段BF的長度即為所求最小值;

第三步,代入上面有關式子進行計算.

解釋第二步最小值的理論依據:易證四……