從一道武漢中考題入手探討圓的折疊

江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)(213161) 顧超德

以折疊為背景的幾何問題在近幾年的中考中屬于熱點(diǎn)問題,題型靈活多樣,體現(xiàn)的是軸對(duì)稱變換的思想．學(xué)生往往對(duì)直線型圖形的折疊問題比較熟悉,而遇到圓的折疊,學(xué)生往往束手無策,這對(duì)學(xué)生圖形識(shí)別、空間想象、綜合解題等方面的能力提出了更高的要求．解決這類問題時(shí)涉及的知識(shí)點(diǎn)多、綜合性強(qiáng),是培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐操作能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一條有效途徑．

1 試題呈現(xiàn)

(2018·武漢中考數(shù)學(xué)試題)如圖1,在⊙O中,點(diǎn)C在優(yōu)弧上,將弧沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB的中點(diǎn)D．若⊙O的半徑為則BC的長是( )．

圖1

A.2B.3C.D.

本題作為選擇壓軸題,將垂徑定理,圓周角定理,軸對(duì)稱,三線合一,勾股定理等知識(shí)融和一體,具有很強(qiáng)的綜合性．首先,圓中問題常見的切入口是半弦,弦心距、半徑構(gòu)成的直角三角形,利用勾股定理可以求解相關(guān)線段．對(duì)于圓心的處理,我們常常是構(gòu)造直徑,得到對(duì)應(yīng)的圓周角是直角．

2 解法呈現(xiàn)與分析

如圖2,連接OD,OA,AC,DC,作CE ⊥AB于E．因?yàn)镈為AB的中點(diǎn),所以O(shè)D ⊥ AB,所以2 ．在__Rt__ΔAOD中,OD=．因?yàn)閷⒒⊙谺C折疊后剛好經(jīng)過AB的中點(diǎn)D,所以弧和弧所在的圓為等圓．因?yàn)樗鶎?duì)的圓周角是∠ABC,所對(duì)的圓周角是∠DBC,所以,所以AC=DC,所以AE=DE=1．

圖2

圖3

思路2如圖4,連接AO并延長,交⊙O于點(diǎn)G,則∠ABG=90°,OD是ΔABG的中位線．所以BG=2OD=2,所以BG=BD,所以．又因?yàn)樗运浴螪BC=∠GBC=45°．所以,在等腰RtΔCEB中

圖4

3 模型歸納與總結(jié)

結(jié)論如圖5,在⊙O中,將弧沿BC折疊,交AB于點(diǎn)D,則CA=CD,即ΔACD是等腰三角形．

證明如圖6,在弧上作出點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′,連接BD′和CD′,則有DD′⊥BC,∠ABC=∠D′BC．所以,所以CA=CD,即ΔACD是等腰三角形．證……