巧做輔助線開展問題探討
——一個教材拓展問題的分析

北京市順義牛欄山第一中學(101301) 胡亞萍 張傳海

平面幾何問題的證明,基本的想法是由結(jié)論(求證)想需知,由條件想可知,建立可知和需知之間的聯(lián)系.同時,另一個重要的想法就是站在知識體系的高度上來把握問題,簡單說,就是考查:①證明這個問題的結(jié)論都有哪些? ②起作用的可能會有哪些? ③把認為可能的結(jié)論都考查一下,這種思考問題的辦法會為我們提供較多的思路.

初中《相似形》一章復習題最后一個問題是一個拓展題,難度較大,每一個做法都要設法添加輔助線才行,非常考驗學生的創(chuàng)造能力.不少老師為了減輕學生負擔,往往舍棄掉該問題.但是,深入研究發(fā)現(xiàn),這是一個“很有營養(yǎng)的”問題,適合集全班同學之力共同研究討論,對于培養(yǎng)學生的團隊意識、協(xié)作精神、創(chuàng)新能力極有好處.本題做法很多,只要鉆進去就能得到解決方法,對于培養(yǎng)學生的自信力也大有裨益,是一個不可多得的好素材.

問題如圖,AB是等腰直角三角形ABC的斜邊,如果點M在邊AC上,點N在邊BC上,沿直線MN將ΔABC翻折,使點C落在邊AB上,記為點P.

(1)如圖1,當點P是AB的中點時,求證:

(2)如圖2,當點P不是AB的中點時,結(jié)論是否成立?若成立,請給出證明.

圖1

圖2

第一問比較簡單,不再贅述.

第二問當點P不是邊AB的中點時,因為是沿直線MN將ΔABC翻折,使點C落在邊AB上,記為點P.所以∠MPN=∠C=90°,MN是線段CP的垂直平分線,CM=MP,CN=NP,MN ⊥CP.

證明方法一:(如圖3) 過點P作PD交AC于點D,使∠APD=∠BPN,又因為∠A=∠B,所以ΔAPD∽ΔBPN,所以,∠ADP=∠BNP,所以180°-∠ADP=180°-∠BNP,即∠MDP=∠CNP,又∠MCN=∠MPN=90°,所以∠CNP+∠CMP=180°=∠CMP+∠DMP,所以∠CNP=∠DMP,所以∠MDP=∠DMP,所以PM=PD,又CM=MP,CN=NP,所以,得證.

點評已有一對等角,加一條輔助線,再構造一對等角,兩組角對應相等,三角形相似；……