夯實基礎 建構體系

潘正剛

[摘要]尺規作圖是幾何教學的重要組成部分，是作圖能力的集中體現，是理性思維的重要代表。設計以夯實基礎、建構體系為目標的尺規作圖專題復習課，能讓學生在問題解決中熟悉五種基本作圖方法，能發展學生的數學學科核心素養。

[關鍵詞]尺規作圖;理性思維;教學設計

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A [文章編號]1674-6058（2020）08-0008-03

數學學科核心素養是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現。教師為未來而教，學生為未來而學。數學教學也要跟隨時代的進展而變化，其方法便是“精中求簡”。精選必備知識、培養關鍵能力。尺規作圖是平面幾何的核心內容。但是其內容眾多，部分作圖難度較大?！读x務教育數學課程標準（2011年版）》一方面保持了尺規作圖在平面幾何中的重要地位;另一方面精選了內容，保留其精華。北師大版教材，以探索基本圖形的性質和定理為主線編排幾何的內容，尺規作圖的內容分散于各章節之中。教學中，教師普遍重視性質和定理的推理論證，對尺規作圖存在不同程度的忽視情況。因此，有必要在七年級下冊，以整體視角設計以尺規作圖為主題的復習課，以興趣為引領、問題為驅動，讓學生形成對相關內容的新理解，建構尺規作圖的體系。

一、教材分析

在北師大版教材中，學生分別在七年級上冊第四章《基本平面圖形》中學習用尺規作線段，在七年級下冊第二章《相交線與平行線》中學習用尺規作角，在第四章《三角形》中學習用尺規作三角形，在第五章《生活中的軸對稱》中學習作已知線段的垂直平分線和作已知角的平分線。

二、學情分析

學生掌握了四種基本作圖的方法，了解作圖的原理，并初步應用基本尺規作圖。但由于知識比較分散，學生普遍還未將這部分知識納入自己的知識體系，欠缺綜合運用知識的能力。

三、教學目標

1.復習四種基本尺規作圖的方法和原理，應用探索第五種基本作圖——過一點作已知直線的垂線，初步建構尺規作圖知識體系;

2.在問題解決中，聯系已有幾何知識，靈活運用基本作圖方法構造圖形，積累操作經驗，發展理性思維。

四、教學設計

（一）創設情境，賞尺規之美

《幾何原本》是由2000多年前的古希臘數學家歐幾里得所著的不朽之作，書中公理化的思想方法成為后世建立知識體系的典范。書中收錄了天文學家、數學家伊諾皮迪斯所提出的兩個命題：給定直線外一點求作直線的垂線;求作一角等于已知角。明確提出只準使用直尺和圓規兩種工具。從此尺規作圖逐漸成為一種公約。在古代，數學家利用尺規作圖解決了各種難題。如圖1，高斯證明了尺規作圖可以作出正十七邊形;在現代，人們借鑒尺規作圖進行平面設計，如圖2為蘋果公司的Logo。

[設計意圖]聆聽數學故事，欣賞平面設計，讓學生感受尺規作圖之關，體會尺規作圖所蘊藏的數學文化。此環節既展現數學現實化的特點，又發揮數學教育化的功能，學生從感性的角度再度認識尺規作圖，激發學習興趣。

（二）實踐操作，悟尺規之理

思考：1.作圖時，圓規的作用是什么？2.作圖的原理有什么區別和聯系？3.如果改變線段的長度和角的角度，你還能按要求作圖嗎？

[設計意圖]由于學習時間跨度較長，不少學生對于尺規作圖的記憶是模糊的、零散的。故設計從基礎開始，有序回顧四種基本作圖，在作圖中復習方法，在說理中訓練邏輯推理的能力，在操作中體會圓規的作用是截取相等的線段，在對比、反思中發現以其作圖原理都可以用全等三角形的判定定理“SSS”來解釋，從而建立起四種基本作圖的內在聯系。在操作性教學活動中，教師的現場示范更有利于學生熟練掌握作圖步驟。因此建議教師采用親自作圖演示為主、幾何畫板動態演示為輔的教學方式。部分學生對于尺規作圖不能使用刻度尺和量角器難以理解，這成為學習道路上的攔路石。設計此教學環節的目的正是為了讓學生了解尺規作圖的應用價值，體會尺規作圖的理性思維。筆者還希望幫助學生解開一個困惑：為什么在作圖中不能測量長度和角度？如果僅僅說這是尺規作圖的規則，很難讓學生釋懷。經歷充分操作、深入交流，從全等三角形的證明過程回到尺規作圖的每一個步驟，引導學生思考嚴謹的演繹推理可以解決由操作、測量誤差等導致的不確定性。

（三）問題驅動，促尺規之用

[設計意圖]過一點作已知直線的垂線是第五個基本作圖。對學生而言，這是一個具有應用意義的新問題。該作圖以例題形式出現，作為基本作圖的應用，學生在操作中進一步體會直尺和圓規的功能性作用，在說理中體會類比、轉化的思想，促進應用基本作圖的意識的形成。

[設計意圖]這道開放性題目讓學生繼續積累將復雜作圖轉化為基本作圖的經驗。較多學生采用作角的平分線和線段的垂直平分線的方法來完成作圖，不少學生欠缺作等線段和等角來解決問題的直覺。本題提出一題三解的要求，旨在拓展學生思維廣度，讓學生展開豐富聯想，進一步促進學生應用各種基本作圖的意識。教師在講解申要提高要求，引導學生聯系等腰三角形來陳述作圖原理，幫助學生找到思維起點，培養邏輯推理能力。

[例3]用尺規作一個30°的角（保留作圖痕跡，不寫作法）。

[設計意圖]本題旨在挖掘思維的深度，展現學生的知識層次和能力水平。若學生無法聯想到熟悉的幾何模型，便難以建立與30°相關的圖形聯系。復雜作圖，不是基本知識的簡單堆砌，需要相關幾何圖形和定理的銜接，綜合運用幾何知識，模塊化建立幾何模型，再以基本作圖為工具解決問題。教學申，教師要力圖讓學生呈現出思維過程的不同層面：一是從數的層

（四）總結歸納，悟尺規之道

師生共同小結：（1）基本作圖有哪些？（2）課堂中所作的圖形有什么特點？（3）請舉例說明，在作圖過程中體會到什么數學思想方法？

[設計意圖]平行線是七年級下冊的重要內容，本題將平行線的判定和基本尺規作圖聯系在一起。此題有多種巧妙的作圖法。直接法：作內錯角相等、同位角相等;間接法：作垂直于同一條直線的兩直線、作全等三角形、先做角平分線后作等腰三角形、作正方形和作菱形。學生要找到思維起點，即回到平行線的判定定理，聯想幾何模型，再轉化為基本作圖來解決問題。

五、教學反思

尺規作圖是初中數學難得的操作性教學內容，其源于操作，植根于結合圖形性質的邏輯推理。即是聯系、重構、內化幾何知識的教學素材，發展學生應用意識、促進學生體悟數學思想方法、培育學生核心素養的教學載體。本課設計基于基本作圖的內在關聯、復雜作圖的分析建構，力圖夯實基礎并建立與尺規作圖相關的知識結構，并將其融合于平面幾何的知識體系之中。本課例設計指向“問題解決”，選取基礎但能一題多解的例題。在教學中充分發揮學生的主觀能動性，關注基礎知識的應用，啟迪學生的發散性思維，促進學生領悟類比、化歸、數形結合等數學思想方法，提升學生應用數學知識解決實際問題的能力。