微專題“余弦定理”的教學設計與反思

王志國

[摘 ?要] 以余弦定理這個主干知識為節點，引導高一學生多角度探究定理，培養學生邏輯推理、數學運算與直觀想象等數學核心素養;通過對余弦定理的鑒賞、對知識進行拓展，進行深度學習，建立多個知識點的聯系. 本節微專題得到三點反思：（1）回歸公式本源，提升思辨能力;（2）創設問題情境，提高鑒賞能力;（3）提煉解題方法，形成反思能力.

[關鍵詞] 余弦定理;探究;鑒賞;核心素養;反思

本節微專題以余弦定理這個主干知識為節點，引導高一學生多角度探究定理，理解公式的來龍去脈，逐步培養邏輯推理、數學運算與直觀想象等數學核心素養.通過對余弦定理的鑒賞、對知識進行拓展，進行深度學習，建立多個知識點的聯系，幫助學生建構完善的知識網絡，并在問題解決的過程中，逐步完善學生的認知體驗，提高分析問題與解決問題的能力[1] .

思維導圖

如圖1所示.

設計意圖：通過思維導圖宏觀把握余弦定理的知識結構，在教學時采取多角度推導公式、鑒賞公式代數式的結構特點，通過對典型問題的有效變式和問題題組的設置來編制微專題. 在典例剖析中挖掘余弦定理的“生長點”，將教師的預設與學生的生成緊密聯系起來，讓教學相長和諧發展. 既能向下扎根，夯實學生必備能力，又能向上開花，促進教師專業成長.

來龍去脈

1.在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，利用向量法證明：b2=a2+c2-2accosB.

方法一：因為 = - ，則（ ）2=（ - ）2，即（ ）2=（ ）2+（ ）2-2 · ，即b2=a2+c2-2accosB.

方法二：因為 = + ，則（ ）2=（ + ）2，即（ ）2=（ ）2+（ ）2+2 · ，即b2=a2+c2+2accos（π-B），即b2=a2+c2-2accosB.

設計意圖：回歸課本，溫故知新.對比學習向量的加法與減法運算，關注向量夾角這個易混易錯點，突出線性運算轉化為數量積運算的意義，通過取數量積將向量關系轉化為數量關系，為后面進一步的探究埋下伏筆.

2. 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，利用正弦定理證明：a2+c2-2accosB=b2.

方法一：左邊=（2RsinA）2+（2RsinC）2-2（2RsinA）（2RsinC）cosB

=（2R）2（sin2A+sin2C-2sinAsinCcosB）

=（2R）2[sin2A+sin2C+2sinAsinC·cos（A+C）]

=（2R）2[sin2A+sin2C+2sinAsinC·（cosAcosC-sinAsinC）]

=（2R）2（sin2A+sin2C+2sinAsinC·cosAcosC-2sin2Asin2C）

=（2R）2[（sin2A-sin2Asin2C）+（sin2C-sin2Asin2C）+2sinAsinCcosAcosC]

=（2R）2[sin2A（1-sin2C）+sin2C（1-sin2A）+2sinAsinCcosAcosC]

=（2R）2（sin2Acos2C+sin2Ccos2A+2sinA·sinCcosAcosC）

=（2R）2（sinAcosC+sinCcosA）2

=（2R）2[sin（A+C）]2

=（2RsinB）2

=b2=右邊.

所以a2+c2-2accosB=b2.

方法二：右邊=（2RsinB）2，接下來是方法一的逆運算，過程略.

設計意圖：方法一化繁為簡，方法二由簡到繁，提高學生綜合應用知識的能力，在問題解決的過程中，培養邏輯推理與數學運算等數學核心素養.

典例剖析

例1：△ABC內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知三角形的兩邊a，b為一元二次方程x2-3x+1=0的兩個根且夾角C為60°，求三角形的周長.

解：因為兩邊a，b為一元二次方程x2-3x+1=0的兩個根，則a+b=3，ab=1.由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=（a+b）2-2ab-2abcosC=6，即a+b+c=3+ ，即三角形的周長為3+ .

設計意圖：鑒賞余弦定理的結構特點，通過配方，達到“設而不求，整體代換”的效果，在潛移默化中啟發學生觀察代數式的結構特點，等價變形，將未知轉化為已知，幫助學生弄懂算理，提高運算能力.

例2：△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足 = .

（1）求角A;

（2）若a=2 ，求三角形周長的最大值.

解：（1）因為 = ，則（2c-b）cosA=acosB.

由余弦定理可得（2c-b） =a ，

（2c-b）（b2+c2-a2）=b（a2+c2-b2），

2cb2+2c3-2ca2-b3-bc2+ba2=ba2+bc2-b3，

cb2+c3-ca2-bc2=0，

c（b2+c2-a2-bc）=0 ，

即b2+c2-a2=bc.

于是cosA= = = ，且A∈（0，π），所以A= .

（2）由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，

則a2=b2+c2-bc，

即a2=（b+c）2-3bc≥（b+c）2-3 2，當且僅當b=c時，等號成立.

即解得b=c=2 ，所以三角形周長的最大值為6 .

設計意圖：進一步鑒賞余弦定理的結構特點，通過引導學生觀察代數式，培養直觀想象數學核心素養，聯想到基本不等式，幫助高一學生建立起這兩個知識點之間的聯系.

例3：在△ABC中，∠ACB=60°，BC>2，AC=AB+1，當△ABC的周長最短時，BC的長是________.

解：依題意可得∠ACB=60°，a>2，b=c+1.

由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=a2+（c+1）2-2a（c+1）cosC，

即a2+2c+1-a（c+1）=0，

即（a-2）c=a2-a+1，

即c= .

于是周長L=a+b+c=a+2c+1=a+2× +1.

設t=a-2，t>0，

則L=（t+2）+2× +1

=（t+2）+2× +1=3t+ +9

=3t+ +9≥2 +9=6 +9.

當且僅當3t= ，即t= 時，等號成立.

此時a=2+ ，即BC的長是2+ .

設計意圖：提高問題的難度，培養學生的分析問題與解決問題的能力，在對代數式的鑒賞中，熟練運用必備的知識和方法解決問題，逐步提升解題的經驗與感悟，特別是通過余弦定理建立等量關系再代入消元的解題策略，無疑是對高一學生提出挑戰.

教學反思

反思一：回歸公式本源，提升思辨能力

筆者布置了一道練習題：“在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，則 · 的值為________.” 學生都用余弦定理求角B的余弦值，再利用向量數量積公式求解. 錯誤率較高，分析原因，發現學生誤將角B當作 與 的夾角. 若學生能回歸余弦定理推導的本源，則只需利用三角形法則，寫出 + = ，再將等式兩邊同時平方，即可以解決問題. 學生暴露出的問題就是本節微專題設置“來龍去脈”的觸發點，希望提醒高一的學生不要死記硬背公式，要多理解并自發推導公式，從而達到理解公式的精髓，在解決問題時，多思少算，做到舉一反三，并能“得意忘形”.

新課標指出：“高中階段至少應安排一次較為完善的數學探究、數學建模活動.”筆者以這次微專題為契機，引導并鼓勵學生進一步探究余弦定理的證明方法，并將正弦定理、射影定理和余弦定理聯系起來[2]. ?證法如下：

因為 = - ，則 · =（ - ）· .

由 · = · - · 可得c2=accosB-bccos（π-A），

即c=acosB+bcosA（射影定理）.

由c-acosB=bcosA可得（c-acosB）2=（bcosA）2，

c2-2accosB+a2cos2B=b2cos2A，

c2-2accosB+a2（1-sin2B）=b2（1-sin2A），

c2-2accosB+a2-（asinB）2=b2-（bsinA）2，

a2+c2-2accosB+（bsinA）2-（asinB）2=b2.

由正弦定理可得bsinA=asinB，于是a2+c2-2accosB=b2.

反思二：創設問題情境，提高鑒賞能力

百度百科對鑒賞的解釋是，鑒賞是對文物、藝術品等的鑒定和欣賞. 人們對藝術形象進行感受，理解和評判的思維活動和過程. 人們在鑒賞中的思維活動和感情活動一般都從藝術形象的具體感受出發，實現由感性階段到理性階段的認識飛躍，既受到藝術作品的形象、內容的制約，又根據自己的思想感情、生活經驗、藝術觀點和藝術興趣對形象加以補充和豐富. 運用自己的視覺感知、過去已經有的生活經驗和文化知識對美術作品進行感受、體驗、聯想、分析和判斷，獲得審美享受，并理解美術作品與美術現象的活動.

筆者談談對通過cosC= 求余弦值的鑒賞：（1）知道三邊a，b，c的數值;（2）不知道三邊a，b，c的數值，但是知道它們之間的比值;（3）將a2+b2-c2和2ab看作兩個整體，知道它們的比值;（4）觀察發現a2+b2和2ab，聯想到重要不等式a2+b2≥2ab. 引導高一學生從這四個角度鑒賞余弦定理，幫助學生獲得解題的方向與思路，同時啟發學生發現多角度的本源是分式運算的不變性.

筆者有目的地引導高一學生多角度探究余弦定理，并通過對余弦定理的鑒賞，不但能使學生深刻理解余弦定理，更有效地提高學生探索發現和直觀感知的能力，而且也是有效地形成學生邏輯推理、數學運算與直觀想象等數學核心素養的重要途徑.

反思三：提煉解題方法，形成反思能力

筆者根據本節微專題的主干知識，在例2的解題過程中都是利用余弦定理，主要目的還是突出對余弦定理的鑒賞與運用，但是對例2的探究并沒有結束，特別是對第（2）問的探究.思路1：由正弦定理可得 = = =4，則b=4sinB，c=4sinC，即周長L=a+b+c=2 +4sinB+4sinC.思路2：由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，則a2=b2+c2-bc，即a2=（b+c）2-3bc≥（b+c）2-3 2. 思路3：根據圓的幾何性質可得，點A在弦長為a=2 所對的優弧上運動，當點A運動到優弧中點時，三角形的面積最大，即周長也取得最大值.

反思：“通性通法”與“最優解法”，筆者將這些解題思路用表1呈現，通過對比學習才能幫助學生具體問題具體分析，真正做到一題多解、多題一解，有的放矢[3].

本節微專題結合高一學生的認知規律和情感體驗，在他們的“最近發展區”設置問題，激勵他們跳一跳，鼓勵他們嘗試與探索. 在解題鑒賞中，潛移默化地啟發他們的數學思維，培養他們的數學核心素養.

參考文獻：

[1] ?吳志鵬. 余弦定理 不得不知的奧秘[J]. 中學數學教學，2019（01）：41-43.

[2] ?尤新建. 合理創設問題情境 發展數學核心素養——余弦定理的教學案例設計[J]. 中學研究（數學），2018（12）：22-25.

[3] ?丁益民. 數學公式教學：促進深度理解的幾個路徑[J]. 教育研究與評論（中學教育教學），2018（12）：69-71.