借助題組教學，提升數學課堂的有效性

朱強

[摘 ?要] 題組教學作為一種行之有效的鞏固學習方法，很值得將其運用到數學教學之中. 文章以教材為媒介，以實踐探究為手段，以提高高中數學課堂有效性為終極目標，從概念的建構、解題的過程和思維的培養等方面來闡述題組教學的應用.

[關鍵詞] 高中數學;題組教學;有效性

題組教學是富含生命力的話題，對數學課堂教學意義深遠. 在高中數學課堂教學中，題組教學作為一種行之有效的鞏固學習方法，以具有目的性和層次性的“代表性問題”為核心，融知識、方法與技巧為一體，以師生共同探究為主要形式，促發求知的迫切心理，讓教學生機勃勃，讓學生在解題過程中體驗題組的規律性，讓數學能力的培養水到渠成[1]. 同時，題組教學的形式多樣，教師也需注重其背后實質性的挖掘. 下面筆者就從課堂教學的角度著手，探討一下題組教學的應用.

讓學生在題組教學中建構概念

概念是組成認知結構的“細胞”，深入概念本質可以促進概念的建構. 概念教學最難以調控的就是不僅需引領學生理解和掌握概念的內涵和外延，還需領悟其中蘊含的數學思想方法和技能.因為概念具有抽象性的特征，如果僅僅是將概念傳送給學生，很多學生將因為毫無新鮮感而缺乏參與探究的熱情，即便是他們也在認真地被動接受，但是他們的思維定然無法進入活躍的狀態. 當教師進行概念教學時，有意識地運用適當的題組加以襯托，這樣的處理可以增強學生概念學習的投入性，最終完成對相關概念的建構，這樣的教學方法與學生的認知規律相匹配，也有助于數學素養的提高[2] .

例1：請觀察1-3題，并說一說集合A到集合B的對應共同點有哪些？

（1）A={-1，-2，-3，1，2，3}，B={1，4，9}，對應法則f：求平方;

（2）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5，6}，對應法則f：乘以2;

（3）A={xx∈Z且x≠0}，B=Q，對應法則f：x→ ;

（4）A={xx∈Z}，B=Q，對應法則f：x→ ;

（5）A={1，4，9}，B={-3，-2，-1，1， 2，3}，對應法則f：開平方.

分析：在題組的引導下，借助1-3題學生思考并提煉得出：對于集合A中的元素a，所對應法則f下的集合B中都有唯一元素b與之對應. 至此，知識實現了一定程度的深化. 然后教師適時引出映射的定義，并通過舉反例的形式，促進學生完成映射定義的咀嚼，并出示問題（4）和（5）讓學生嘗試判斷是否為映射，進一步加深對定義的理解，利于對概念的建構.

讓學生在題組教學中探求解題規律

不少數學問題具有規律性，教師需有意識地激發學生發現、探究和掌握規律.在教學中，教師可以設置題組來幫助學生去找尋、探究和積累，從而掌握其中規律，并實現靈活應用，達到培養學生思維廣闊性的目的.

例2：（1）求值：cos60°cos15°+sin60°·sin15°;

（2）求值： cos15°+ sin15°;

（3）求值cos15°+ sin15°;

（4）求函數y=cosα+ sinα，α∈0， 的值域;

（5）求函數y=sinαcosα+ sin2α，α∈0， 的值域;

（6）設函數f（x）=a·b，其中向量a=（2cosx，1），b=（cosx， sin2x），若f（x）=a·b且x∈- ， ，求x的值.

分析：以上題組中，1-3題將思維從兩角和與差的余弦公式的逆用逐步向提煉輔助角公式asinα+bcosα= sin（α+φ）（tanφ= ）過渡，促進學生對公式形成更加全面而立體的認識，而且這一知識的提煉水到渠成. 4-6題則是溝通輔助角公式、兩倍角公式以及向量，從而有效激發學生的思維，實現公式的靈活應用. 題組教學可以通過層層推進的關系將解題的規律逐步展示出來，以此提升學生解題的目的性.

讓學生在題組教學中強化重點

高中數學教學中，首要任務就是幫助學生解決重點，同時突破難點，但是學生在重點強化方面確實存在著意識上的缺失，所以在教學過程中，教師需設計題組來啟發和引導，采用題組訓練的方式進行知識的梳理，這樣的操作必然會讓學生在掌握基礎知識技能的同時，有助于重點的突出，并且可以在認知提升的基礎上培養學生的數學素養.當然，有些知識的重點和難點是相輔相成的，這就要求教師在設計題組時，既需有利于重點的凸顯，也要有助于難點化解，同時還需關注學生對知識的理解和深化，從而收到事半功倍的效果.

例如，筆者在執教“函數的單調性”后，選用了“求二次函數在閉區間上的最大（小）值”的題組來實施針對性訓練：

例3：（1）設f（x）=x2-2x-2，x∈[-2，2]，求f（x）的最大值、最小值;

（2）設f（x）=x2-2x-2，若有f（x）在區間[-2，t]上的最大值g（t），試求出g（t）的表達式;

（3）設f（x）=x2-2x-2，若有f（x）在區間[t，t+1]上的最小值g（t），試求出g（t）的表達式;

（4）設f（x）=x2-2ax-2，若有f（x）在區間[-2，1]上的最小值g（a），試求出g（a）的表達式.

分析：以上題組主要探究的是“一元二次函數的最值問題”，而突破這類問題的關鍵之處是需引導學生溝通一元二次函數的圖像，理清函數對稱軸和定區間之間的位置關系. 在以上4個變式題組訓練中，學生對此問題有了一個深刻的認識.

讓學生在題組教學中實現難點突破

高中教學中體現出來的難點眾多，根本原因在于認知水平的差異性. 這就要求廣大數學教師需充分發揮好自身的主導作用，積極主動地進行教學設計，從而在教學過程中更加有效地指導學生，突破難點. 當然，難點的強化，若僅僅借助于反復強調和講解自然是遠遠不夠的，教師可以通過設計題組這一專用武器，引領學生展開“突破難點”的專門性訓練，通過思考、探究和探討找尋真理，有效攻克難點.

例4：（1）求函數y=log x的單調增區間;

（2）求函數y=x2-6x+8的單調增區間;

（3）求函數y=log2（x2-6x+8）的單調增區間;

（4）已知函數y=loga（2-ax）在區間[0，1]上單調遞減，試求出a的取值范圍.

分析：以上題組中，1-2題兩道具體的初等函數單調區間問題，從函數圖像出發，學生解決起來較為簡單;不過3-4題這兩道復合函數單調區間問題，則是函數這一章節中的一個教學難點，成為長期困擾教師的一個問題，通過題組教學，學生理解起來就簡單多了.

略解（3）設y=log2t，t（x）=x2-6x+8，且有t（x）=x2-6x+8>0. 因為y=log t在（0，+∞）上單調遞增，即為求函數y=log2（x2-6x+8）的單調增區間，也就是求內函數t（x）=x2-6x+8的單調增區間，因此只需從一元二次函數t（x）=x2-6x+8的圖像著手解決即可. （作圖時需考慮定義域t>0）

（4）設y=logat，t（x）=2-ax，且有t（x）=2-ax>0. 因為a>0，所以內函數t=2-ax在區間[0，1]單調遞減. 因為函數y=loga（2-ax）在區間[0，1]單調遞減，所以外函數y=logat在區間[0，1]單調遞增，所以a>1. 又因為t（x）=2-ax>0在[0，1]上恒成立，所以t（x）min=t（1）=2-a>0，所以1

若將題中區間[0，1]轉化為（0，1），結果會發生什么樣的變化呢？思考后可以得出，前半部分相同，不過由于t（x）min>t（1）=2-a≥0，所以1

讓學生在題組教學中發展思維

題組教學可以將相關知識的銜接中的思維機制充分暴露，據此它可以作為發展學生思維能力的有效載體[3] . 因此，教師在設計題組時，應鼓勵學生大膽設想、敢于質疑，彰顯自我認知的思維過程，讓學生的思維得到有效激發和訓練.

例5：（1）一個三角形的各邊可否組合為等比數列？若能，試求出公比q的取值范圍;若不能，請闡明原因.

（2）一個直角三角形的三邊可否組合為等差數列？若能，試求出該數列;若不能，請闡明原因.

（3）若一個三角形的三個內角和所對三邊均可組合為等差數列，該三角形是什么三角形？

解：（1）令該三角形三邊為a，aq，aq2（a>0，q>0），那么，當q≥1時，最大邊是aq2，所以a+aq>aq2;當0a.可得1≤q< 或

（2）若設直角三角形的三邊組合為等差數列，那么三邊為a-d，a，a+d，且公差為d（d>0），則（a-d）2+a2=（a+d）2，可得d= . 所以該直角三角形三邊長度為 a，a， a時可構成等差數列.

（3）因為該三角形三個內角為等差數列，那么三個角為α-β，α，α+β，則（α-β）+α+（α+β）=π，可得α= . 因為該三角形三邊為等差數列，那么三邊為a-d，a，a+d，根據余弦定理，可得cosα= ，所以 = ，可得d=0，所以該三角形為等邊三角形.

總之，在以題組教學為載體，引導學生展開數學探究的過程中，教師需充分發揮學生的自主性，讓學生全面參與到思考和探究中去，讓學生更加全面地獲取數學知識技能，從而獲得各方面能力的提升.

參考文獻：

[1] ?黃亞新. 高三數學復習中的“題組教學”及其對學生數學學習的影響[J]. 上海師范大學，2013，22（6）.

[2] ?張明星. 高中數學題組教學模式下分組合作學習初探[J]. 雜文月刊：學術版，2016（3）.

[3] ?李翠艷. 利用題組教學，培養學生的歸納和分析能力[J]. 考試周刊，2011（7）.