APOS 理論下變式教學對概念心理圖式的建構

福建省詔安第一中學 江曉潔 許偉湘

為了構建更高教學質量的數(shù)學課堂，引導學生進行數(shù)學學科的能力提升，20 世紀80 年代，杜賓斯基等人提出了APOS 理論，旨在針對學生數(shù)學學習的特點，提出一些數(shù)學教學理論。在20 世紀90 年代，該理論流入國內，主要在我國高等學校數(shù)學課堂中應用，在中等學校并未得到普及。“變式教學”是另外一種教學方式，其在我國廣大學校教學工作中有著較多運用。基于此，本文分析了APOS 理論與變式教學的性質特點，并通過分析研究出新的運作方式，以為中學數(shù)學教學提供更加多元化的教學方法。

一、APOS 理論的性質

杜賓斯基于20 世紀末發(fā)表《APOS：一種構建主義理論》一文，將該理論解釋為構建主義理論下的一種具體模式。他提出了概念心理圖式的構建主要會經(jīng)歷以下四個階段：操作階段、過程階段、對象階段、圖式階段。操作階段是指個體通過學習來獲得知識，在外部條件的刺激下得到理論學習的突破。在這一階段，個體的計算、推理、回憶、總結等數(shù)學學習手段成為活動，其中不僅包含個體的肢體動作，也包含個體的思維邏輯內涵。過程階段是指個體不斷重復活動，通過個體的自我反省來將活動內化為過程，在獲得將數(shù)學概念一般化的能力后，構造更加復雜的活動內容。對象階段是指個體通過不斷學習進步，能夠將第二階段的過程看作一個數(shù)學學習整體，進而根據(jù)自身能力對整體進行變形分析。在這個時候，整體就變成了個體學習的整個對象。在圖式階段，個體對前三個階段的內容進行整合后，已經(jīng)能夠在腦海中形成具有綜合心理圖式，包含數(shù)學概念的具體實例、完整定義、抽象過程以及和其他概念相區(qū)別、相聯(lián)系的心理圖式。總而言之，APOS 理論對數(shù)學學習有著重要的作用，而經(jīng)過這四個階段的學習能夠更加完整地形成對數(shù)學概念的認識，實現(xiàn)數(shù)學思維的提升。

二、變式教學的性質

變式教學將變異學習理論作為研究數(shù)學教學的工具，在全世界的很多國家都有所應用。我國在課堂教學中運用變式教學進行教學評價，通過對教學進行觀摩來研究如何利用變異學習理論提升數(shù)學教育教學工作。在變式教學的發(fā)展中，很多專家學者對理論進行了補充。1991 年，顧泠沅教授在《學會教學》一書中首先對變式教學進行了解釋說明，開辟了變式教學在我國的應用前景，為后來的變式教學研究發(fā)展奠定了理論基礎。在隨后的十幾年間，國內很多專家學者、教育工作者對變式教學理論進行研究補充，對變式教學在各年級數(shù)學教學中的應用進行闡釋，深入地研究了理論對教學實際產(chǎn)生的影響，這對于各學年學生的數(shù)學學習能力提高有著深刻的作用。

在變式教學構建心理圖式的工作中，有著三個轉化階段：操作、對象階段；過程、對象階段；對象、圖式階段。

（一）操作階段轉變?yōu)閷ο箅A段

這個階段是指通過個體在生活中的思考，呈現(xiàn)數(shù)學概念的實例。這實質上是對實例的階段性呈現(xiàn)。在這個階段，通過對實例進行解析，可以幫助學生積累學習活動經(jīng)驗，從而逐步提高到下一個階段。在這個階段，可以設計使用這樣的一組變式題型：

例1：請觀察下列數(shù)列有什么共同特點。

問題1：1，2，3，4，….（同學站成隊列依次報數(shù)）

7500，8000，8500，9000，9500，….（某品牌商品每個月的價格變化）

在這道題中，學生會發(fā)現(xiàn)一些問題。例如數(shù)字都是整數(shù)，數(shù)字的變化都伴隨著一定的規(guī)律，都是正數(shù)等。

問題2：-3，-6，-9，-12，-15，….

10，10.5，11，11.5，12，12.5，13，….

在這道題中，學生會將關注點轉移到對每一項的觀察中，尋找每一項之間的關聯(lián)規(guī)律。

問題3：a，b 是兩個常數(shù)

a，2a，3a，4a，5a，6a，….

b，b+a，b+2a，b+3a，b+4a，….

在這道題中，已經(jīng)完全脫離了具體的數(shù)值，學生要通過對以上幾個數(shù)列的特點進行總結，提煉等差數(shù)列的含義，這樣就通過抽象的字母完成了對數(shù)列定義的探索，形成了操作階段向對象階段的轉變。

（二）過程階段轉變?yōu)閷ο箅A段

過程階段主要是指引導學生在思考中提煉學習概念內涵，經(jīng)過思維模式的內化，把過程進行壓縮，產(chǎn)生較為抽象的內涵，建立概念模型，最終達到對象階段。在這個轉變階段中，要運用變式教學明確公式的教學合理性，注意對關鍵之處進行把握分析，從而達到良好的階段轉化效果。

這樣的變式訓練能引導學生將此當成一個對象，獲得在復雜問題中解決、運算的能力。在實際的教學中，這樣的過程通常需要大量的提煉，需要用大量的變式題型加以分析，最終使學生在不同的變式情境中都能夠獲得問題的答案，從而達到過程階段的轉變目的。

（三）對象階段轉變?yōu)閳D式階段

在這一階段中，注重將數(shù)學概念的圖式通過操作、過程、對象在學生頭腦中形成一定的認知，包括概念的實例、抽象的過程、完整的定義以及符號的聯(lián)系。

例1：根據(jù)橢圓的相關知識點判斷正誤。

變式1：在平面內到兩定點F1、F2距離之和等于常數(shù)2a（2a ＞|F1F2|時），動點P 的軌跡是橢圓。

這樣的變式訓練能夠使學生有效地找到解決問題的方法，將其中的思想納入已經(jīng)建立的思想方法體系中，從而完成對象階段到圖式階段的轉變。

三、APOS 理論下變式教學方法的實施

（一）加強概念理解，深化理論應用

當前我國的數(shù)學教學通常使用較為保守的教學方法，采取“小步走”的教學路線，教學內容按照教師的規(guī)劃循序漸進地進行，教師與學生能夠互動和配合，適應大多數(shù)學生的學習要求。但針對APOS理論而言，這樣的教學意義不大。傳統(tǒng)教學方法中，往往不具備深層次的教學意義探究，導致很多課堂活動成為“面子工程”，僅僅是為了活動而活動，成為看似絢爛卻空有其表的教學方式。因此，教師應當在數(shù)學教學中注重對教學內容的分析理解，在教學工作中加入過程性的變式，通過反映知識的演變過程來引導學生學習其中的本質聯(lián)系，在活動中真正利用變式訓練，讓學生充分理解概念的抽象含義，一步步地拓寬學生的知識儲備，有層次地提高學生的學習水平。

（二）構建教學情境，貫徹實際經(jīng)驗

數(shù)學教學中的教學情境，能夠通過提出問題、導入課程來吸引學生進行學習。在具有差異化、現(xiàn)實化、趣味化的教學情境中，發(fā)揮APOS 理論下變式教學的積極作用，在一定程度上能刺激學生對概念的理解和分析。教師可以創(chuàng)設現(xiàn)實化的情境，將現(xiàn)實中常見的問題與教學內容相結合，盡可能地使用現(xiàn)實中的場景，更容易讓學生接受。在一些較為復雜的知識教學中，教學情境可以幫助學生更好地理解知識內涵，在實際生活中還能夠回想起教學情境中的內容，在遇到實際問題時，聯(lián)想到知識點加以分析解決。基于此，教師應當充分理解所教授的課堂知識，研究分析APOS 理論及變式教學方法，思索出理論與課堂相結合、變式與教學相結合的方法，探究豐富的教學模型，準備充實的活動材料，將生活中的實際經(jīng)驗傳授給學生。在課余時間，為學生創(chuàng)造更多的探究機會，讓學生能夠進行觀察、分析、試驗、總結、證明，引導學生通過自身努力將知識生活化，從而提高學生的核心素養(yǎng)。在此過程中，教師要關注學生對概念的掌握能力，達到教學目的。

綜上所述，我國教育教學工作不斷發(fā)展完善，出現(xiàn)了很多行之有效的教學方法。當下，APOS 理論與變式教學相結合，能夠對教學工作產(chǎn)生一定的積極影響。通過本文的分析能夠得知，當前的數(shù)學教學從加強概念理解、深化理論應用、構建教學情境、貫徹實際經(jīng)驗等方面入手，能夠在一定程度上提高教學工作水平，讓學生在更好的教學環(huán)境中獲得良好思維的養(yǎng)成和學習能力的提升。