核心素養(yǎng)下數(shù)學建模思想在解高考數(shù)學題中的應用研究

張雙平

【摘要】高中是學生學習與成長過程中至關重要的轉折階段，在這一時期學生的學業(yè)壓力較大、學習任務較重，因此容易產(chǎn)生消極情緒.教師在教學的同時應引導學生以良好的心態(tài)面對學習，傳授學生一些解題技巧，培養(yǎng)學生正確的解題思維，以此來幫助學生提高解題準確性，樹立學生學習的自信心.基于此，本文針對核心素養(yǎng)下數(shù)學建模思想在解高考數(shù)學題中的應用展開研究.

【關鍵詞】核心素養(yǎng);數(shù)學建模思想;高考數(shù)學解題;應用研究

引 言

近年來，根據(jù)高考數(shù)學題的研究和分析，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學建模思想越發(fā)成為主要的考點之一，很多高考數(shù)學題都會運用到建模思想，學生如果能夠很好地運用建模思想，有利于學生提升高考成績，端正解題心態(tài).數(shù)學建模能力實際上是一種數(shù)學思考方法，可以將抽象的問題形象化，從而幫助學生提高解題效率，將文字轉化為數(shù)字、符號、圖形或者表格等形式，幫助學生分析題意，明確已知條件之間的關系，以此來提高學生的學習素養(yǎng).

一、構建函數(shù)模型

函數(shù)無疑是高考中數(shù)學學科的一個必考點，也是一個考試難點，在每一年的數(shù)學高考試卷中都能夠看見函數(shù)問題的存在，并且占據(jù)著不小的分值.但是近年來一些題目在題干中并不會出現(xiàn)函數(shù)的數(shù)學表現(xiàn)形式，但其實函數(shù)是其中的隱性條件，這時就需要學生構建函數(shù)模型，把問題轉化為函數(shù)模型來進行思考，作為解題的突破口.

例題 某蔬菜種植地種植土豆，從1月1日到未來的300天內(nèi)，圖1表示土豆市場售價和上市時間的關系;圖2表示土豆種植成本與上市時間的關系.請寫出圖1和圖2相關關系的函數(shù)關系式.

解法 通過圖1和圖2來分別分析，通過仔細讀題來建立函數(shù)模型，假設土豆市場售價和上市時間的函數(shù)關系式為P=f（t），市場售價和種植成本之間的函數(shù)關系式為Q=g（t），由此得出：

點評 本道題目中蘊含著多個數(shù)學知識點，其中最重要的就是函數(shù)模型思想的運用.本題考查的是函數(shù)模型在實際生活中的應用，在實際生活中這些案例都存在并且確實需要用到建模思想和數(shù)學思維去解決問題.不僅是考查這學生對于建模思想的運用能力，而且需要教師在實際問題中提取有效條件、分析變量關系再逐層分析、解題.在求解的過程中考查學生的圖形分析、總結能力以及運算能力.

二、構建線性規(guī)劃模型

在核心素養(yǎng)的要求下，針對數(shù)學建模思想在高考解題應用中的研究，線性規(guī)劃模型也是一個重要的體現(xiàn)形式.線性規(guī)劃是運籌學中靜態(tài)規(guī)劃的一個重要分支，是現(xiàn)代管理中經(jīng)常采用的基本方法之一.在解決實際問題時，需要把問題歸結成一個線性規(guī)劃數(shù)學模型，關鍵及難點在于選適當?shù)臎Q策變量建立恰當?shù)哪Ｐ停@直接影響問題的求解.一般來說，線性規(guī)劃模型的構建常應用于經(jīng)濟管理、交通運輸、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等問題中，因此當學生遇到這種類型的題目時，可以先行考慮構建線性規(guī)劃模型作為解題思路.

例題 某機床廠生產(chǎn)甲、乙兩種機床，每臺銷售后的利潤分別為4000元和3000元，生產(chǎn)甲機床需要A，B機器加工，加工時間分別為每臺2小時和每臺1小時;生產(chǎn)乙機床需要A，B，C三個機器加工，加工時間為每臺1小時.假設每天A，B，C可用于加工的機器時數(shù)分別為10小時、8小時和7小時，問該廠生產(chǎn)甲、乙機床各幾臺，才能保證總利潤最大？

解法 該題的解題關鍵在于找到總利潤與哪些條件有關，從題目中找出所需條件，并且確定目標函數(shù).假設該廠生產(chǎn)x1臺甲機床和x2臺乙機床時總利潤最大，則x1和x2之間應滿足以下條件：

順著這個思路來開展接下來的解題步驟，以此來求出問題的正確答案.依據(jù)目標函數(shù)在相關圖像中做出二元一次不等式組的平面區(qū)域，求出y最大值時的點.

點評 本道題目是近年來高考數(shù)學題中一個比較常見的題型，這是一道工業(yè)生產(chǎn)問題，更是生活中的實際問題，可見數(shù)學與生活實際之間存在著密切的聯(lián)系，也是考查學生線性規(guī)劃模型構建能力的一種主要表現(xiàn)形式，側重考查學生建模能力、分析題意、解決問題、運算能力等方面綜合水平，也是數(shù)形結合思想的一種拓展延伸.

三、構建排列組合模型

在核心素養(yǎng)的要求下，針對數(shù)學建模思想在高考解題應用中的研究，排列組合模型構建的思想一般應用于比較抽象的數(shù)學問題中，普遍存在于概率、統(tǒng)計、數(shù)列、分配等一些實際問題中.排列組合模型的構建看似比較簡單，但其中蘊含著很多種數(shù)學思想和解題方式，考查學生綜合能力，學生必須具備靈活應用數(shù)學知識點的能力和良好的邏輯思維才能夠有效構建排列組合模型來提高解題準確度.一般排列組合模型的構建有排位置、投球入盒、抓球、填格子等模型方式，能夠幫助學生理解題意、分析關系，從而巧妙、簡捷地解決數(shù)學問題.

例題 有6個小朋友要排成一行，如果想要A，B兩個小朋友不相鄰，有哪幾種排列方式？

解法 首先明確本道題目的類型，可以發(fā)現(xiàn)這是一道采用“排列組合模型構建”的典型題型，確立這一點之后，學生需要做的就是選擇一種模型構建方式，這道題目就需要構建“排位置”的模型構建方式，運用直接法或間接法就可以直接解題，如可以先討論其他4個小朋友的排列方式，逐步求出正確答案.

點評 這道題目可以體現(xiàn)題目與生活實際密切相關，本題以真實情境作為命題素材，既考查學生對于數(shù)學基礎知識的掌握情況又考查學生的數(shù)學思維和實踐水平，培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識，讓學生能夠逐漸養(yǎng)成仔細觀察生活并運用數(shù)學知識解決實際問題的能力，讓學生能夠通過解題認識到學習數(shù)學的重要性.

四、構建立體幾何模型

在核心素養(yǎng)的要求下，針對數(shù)學建模思想在高考解題應用中的研究，立體幾何一直都是學生在各個階段的學習重點和難點，同時也是高考的必考題型之一.教師應仔細分析相關的立體幾何高考例題，并且引導學生運用建模思想，構建立體幾何模型解決數(shù)學問題，幫助學生找到解題突破口，運用比較簡單的方式解決問題.在解題過程中，部分題目需要學生做輔助線，教師可以引導學生通過題干中的信息逐個在圖形中標記，結合所學習的數(shù)學知識尋找這些標記點之間的聯(lián)系，從圖形中尋找關鍵信息，從而畫出正確的輔助線再進行解題.

例題 我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”的題目：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸，則平地降雨量是寸.（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②一尺等于十寸）解法 本道題目可以從構建立體幾何模型來作為解題突破口，可以發(fā)現(xiàn)本道題目考查的是圓臺的體積公式.學生可以先做出圓臺軸截面：

由題意知，BF=14（單位寸，下同），OC=6，OF=18，OG=9，即G是中點，所以GE為梯形的中位線，從而可以求出積水的上底面半徑為14+6[]2=10，以此展開接下來的解題步驟.

點評 本道高考題目命題方向以《數(shù)書九章》為背景，是中華傳統(tǒng)文化的一種表現(xiàn)形式，說明中國古代的數(shù)學成就是十分輝煌的，在命題時添加了數(shù)學文化元素.學生可以根據(jù)構建立體幾何模型進行空間想象、邏輯推理、運算和整理的解題步驟，這也是教育領域發(fā)展和高考命題對于學生能力考核的一個新方向和新要求.

結束語

綜上所述，在近年來針對高考數(shù)學題目的研究和分析中發(fā)現(xiàn)高考數(shù)學題目的命題越發(fā)注重考查學生多方面的能力.因此，在核心素養(yǎng)的要求下，教師一定要針對學生建模思想的培養(yǎng)進行教學，讓學生能夠掌握函數(shù)模型、線性規(guī)劃模型、排列組合模型、立體幾何模型等幾種常見的建模思想，通過不斷的練習掌握這幾種建模思想的解題技巧，提升學生的解題準確度.

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