一個不等式猜想的深入探討

湖南省綏寧縣瓦屋唐鎮瓦屋梅坪小學

從啟發式教學模式角度，對一個熟知的數學命題，引導學生做出大膽“類比、猜想”，并啟發學生分析證明思路，進行論證，無疑是值得贊揚的教研探討模式之一.許多數學教師在教學及教學研究中提出這種“類比、猜想”，使用“大膽猜想、細心求證”方法以鍛煉和提高學生創新思維能力.文獻[1-5]對2009年《數學通報》第十期問題1818 進行了研究.針對問題1818，施剛良老師等[1]提出如下類比猜想.

猜 想1[1]設i ＞0,i=1,2,··· ,n,n ∈?,n ≥則

猜想2[1]設k,n ∈N,ai ＞0,i=1,2,··· ,n,n ≥3,k ≥2.則

這時猜想2中的不等式轉化為，

近年來，作者未見有關文獻報道解決這兩個猜想.本文的目的是證明在一些情況這個猜想成立，而在另一些情況猜想不成立.

注記1由于(2)是(1)的推廣，因此猜想2是猜想1的推廣.

注記2當n=3時，文[1],[2],[4]已經證明(2)成立，文[3]給出證明了.當n=3時(2)的一個推廣形式.我們注意到當n ≥4,k=2時，(2)不成立，所以n ≥4,k ≥2時猜想2 不成立.事實上，當mi=t ＞且t →+∞時，我們有

故當mi ＞0(i=1,2,··· ,n-1)很大，而mn ＞0 很小時就有

故(2)當n ≥4,k=2時不成立.例如取n=4,m1=m2=m3=10,m4=0.001，我們有m1m2m3m4=1 但是

類似地，當k ≥1,n ＞k+1時，我們有

因此當n ≥k+2,k ≥1時(2)不成立，所以此時猜想2也不成立.

定理1設n,k為整數，n ≥k+2,k ≥2,mi ＞0,i=則

等號成立當且僅當m1→0,mi →+∞,i=2,··· ,n.

證明容易知道有下確界α.所以對任意

于是對任意t ＞1 有從而

取t →+∞則立得α ≤1.

當n ≥k+2時，我們考慮

其中被減數中有n(k+1)n-1項，合并同類項后常數項是n，其他項為

共計

其中減數中有(k+1)n項，合并同類項后常數項為1，其他項為

推出(3) 成立.容易看到(3)中等號成立當且僅當m1→0,mi →+∞,i=2,...,n定理證明完畢.

定理2設n,k為整數，2≥n ≥k+1,2≥k,mi ＞則

證明容易知道有下確界α.所以對任意

取t →0 則立得

當2≤n ≤k+1時，我……